Příklad 4.54

[!example] Spočtěte obsah obrazce ohraničeného funkcí $x^2$ a přímkou procházející body $[−1, 1]$ a $[1,5]$

[!help] Jak určit předpis přímky ze dvou bodů? viz [[Směrnicový tvar přímky#Určení ze dvou bodů]]

\[\Large\begin{aligned} f(x) &= x^2 && f(x)=0 \text{\;pro\;} x=0\\ g(x) &= 2x+3 && g(x) = 0 \text{\;pro\;} x = \large-\frac{3}{2} \end{aligned}\]

[!info] Vypočítání [[Integrační meze|integračních mezí]] $$\Large \begin{aligned} f(x) &= g(x) \ x^2 &= 2x+3 \ x^2-2x-3&=0 \ (x-3)\cdot(x+1) &= 0 \ x &\in\boxed{\set{-1, 3}} \end{aligned} $$

[!info] Jak správně zapsat oblast mezi funkcemi? Nejprve zjistíme, která funkce je "výš" než ta druhá.

Protože se funkce protínají akorát v bodech $x=-1$ a $x = 3$, tak je na tomhle intervalu ($x\in(-1,3)$) buďto pod nebo nad přímkou. Vezmem tedy $x$ z intervalu a dosadíme. $$\Large \begin{aligned} x &= 0 \\ f(0) &= 0 \\ g(0) &= 3 \\ \end{aligned}$$

Lze vidět, že bod na přímce má vyšší funkční hodnotu než bod na parabole. Oblast mezi nimi je tedy vyjádřena jako rozdíl mezi oblastí pod přímkou a oblastí pod parabolou: $\int{g(x)-f(x)}dx$

\[\Large \begin{aligned} \int_{-1}^{3} g(x) - f(x)\;dx \end{aligned} \]