Spojitost funkce

Spojitost funkce říká, jestli je někde graf funkce "přerušený" nebo ne. Funkce je spojitá v nějakém bodě, pokud je spojitá i v jeho libovolném okolí větší než 0.

Definice spojitosti: Funkce je spojitá v bodě \(c\), jestliže pro \(\varepsilon\)-okolí bodu \(f(c)\) existuje takové \(\delta\)-okolí bodu \(c\), že všechny \(x\) z \(\delta\)-okolí mají funkční hodnotu v \(\varepsilon\)-okolí. $\(\Large\begin{aligned} >|f(x)-f(c)| &< \varepsilon \\ >|x-c| &< \delta \\ \end{aligned}\)$

Spojitost lze také zadefinovat pomocí [[Limita funkce|limity]].

Definice spojitosti: Funkce je spojitá v bodě \(c\), pokud má b vodě \(c\) limitu rovnou funkční hodnotě v bodě \(c\). $\(\Large\lim_{x\to{c}}f(x) = f(c)\)$

Pokud jsou dvě funkce spojité v nějakém bodě, tak pak budou spojité i jejich "aritmetické operace".

Spojitost aritmetiky funkcí: Mějme dvě spojité funkce v bodě \(c\), poté jsou také spojité následující operace: - Absolutní hodnoty - Součet funkcí - Rozdíl funkcí - Součin funkcí - Podíl funkcí, pokud je funkční hodnota v jmenovateli různá od nuly.

Spojitost složené funkce: Mějme dvě funkce, kde první je spojitá v bodě \(c\), a druhá je spojitá ve funkční hodnotě první funkce v bodě \(c\), poté je jejich složená funkce také spojitá v bodě \(c\). $\(\Large\begin{cases} c \in \mathbb{R} &\large\text{Zkoumaný bod.}\\ g(c) & \large\text{Vnitřní funkce spojitá v bodě c.} \\ h(g(c)) &\large\text{Vnější funkce spojitá ve funkční hodnotě vnitřní funkce.}\\ h(g) &\large\text{Složená funkce je spojitá.} \end{cases}\)$

Jednostranná spojitost

Spojitost lze zkoumat buďto - zleva, kde \(\delta\)-okolí je pouze od bodu doleva. - zprava, kde \(\delta\)-okolí je pouze od bodu doprava. - zleva i zprava, kde \(\delta\)-okolí zkoumám od bodu do obou směrů.

Spojitost inverzní funkce

Pokud je výchozí funkce spojitá, a lze k ní vytvořit inverzi (to znamená, že je [[Prostost funkce|prostá]] \(\iff\) [[Monotónnost funkce|ryze monotónní]]), tak bude spojitá i její inverze. Dává smysl, kde by se v ní, přece jenom, najednou vzaly díry?

Spojitost inverzní funkce: Mějme funkci \(f\), která je [[Monotónnost funkce|ryze monotónní]] a spojitá na vybraném intervalu. Poté bude inverzní funkce také spojitá na vybraném intervalu.