Číselné soustavy

Číselná soustava je systém pro reprezentaci čísel. Definuje způsob, jakým čísla zapisujeme a interpretujeme pomocí symbolů, které nazýváme číslice. Hlavní charakteristikou číselné soustavy je její základ \(Z\). Základ udává, kolik symbolů se v soustavě používá a jakou hodnotu má každá pozice v čísle. Libovolné kladné číslo lze tedy zapsat jako

\[ F(Z) = \sum_{i=0}^{m-1} a_i \cdot Z^{i} \]

Dvojková soustava

Abstract

Dopsat MSB a LSB, a vlastně celý.

Kódování čísel s desetinnou řádovou čárkou

Čísla s pevnou řádovou tečkou (fixed-point numbers) mají pevně stanovenou pozici desetinné tečky v čísle. Tento formát je jednodušší na implementaci, ale nabízí omezenější rozsah a přesnost než čísla s pohyblivou řádovou tečkou. Čísla jsou reprezentována jako celá čísla, ale s předem definovaným místem pro desetinnou tečku. Vhodné pro aplikace, kde je rozsah a přesnost předem známá a není třeba ji dynamicky měnit.

Kódování čísel s pohyblivou řádovou tečkou

Čísla s pohyblivou řádovou tečkou (floating-point numbers) mají proměnnou pozici desetinné tečky, což umožňuje reprezentaci velmi velkých i velmi malých čísel s vysokou přesností. Nejrozšířenější standard pro tyto čísla je IEEE 754.

\[\text{Hodnota} = (-1)^\text{S} \cdot (1 + \text{M}) \times 2^{(\text{E} - \text{B})}\]

Znak (S): Určuje znaménko čísla.
Exponent (E): Upravuje hodnotu posunutím o bias.
Mantisa (M): Reprezentuje základní hodnotu čísla.
Posun (B): Počítá se podle \(2^{(n-1)-1}\), kde \(n\) je počet bitů určených pro exponent. Umožňuje reprezentovat záporné exponenty.

Záporná čísla ve dvojkové soustavě

Vyhrazení znaménkového bitu
Přičtení konstanty (posunutý kód)
Jedničkový doplněk
Dvojkový doplněk

Vyhrazení znaménkového bitu

Tato technika spoléhá na to, že jeden bit (většinou MSB) představuje znaménko čísla:

\(1\) pokud je číslo záporné
\(0\) pokud je číslo kladné

Výhodou je jednoduchost tohoto řešení - pomocí kontroly jednoho bitu víme, jestli je číslo kladné, nebo záporné. Obří nevýhodou tohoto řešení je, že se snižuje rozsah čísel, které můžeme reprezentovat. Při použití počáčetního bitu (MSB) se nám rozsah kladných čísel, které můžeme reprezentovat, srazí na polovinu. Tudíž při osmi bitech můžeme najednou reprezentovat jenom čísla v rozsahu \(\left<-127, 127\right>\) z původního \(\left<0, 255\right>\)

Kladná a záporná nula

Při použití vyhrazeného bitu vznikají dvě nuly - ta, která má znaménkový bit 1 a která má znaménkový bit 0.

Nebuď Pepega

Když se při použití MSB sníží rozsah kladných čísel o polovinu, proč nepoužít LSB, když je nejmíň významný???

Kdybych použil LSB a zbytek nechal být, tak pořád ztratím polovinu kladných čísel, ale tentokrát to nebude kvůli omezení rozsahu, ale kvůli tomu, že ztratím možnost vyjadřovat lichá čísla. Je tedy jedno, kde ten bit je, pořád to redukuje reprezentovatelný rozsah.

Posunutý kód

Posunutý kód neboli technika přičtení konstanty spoléhá na přičtení dobře zvolené konstanty tak, že se posune číslo nula o konstantu tak, že se z původní nuly stane nejnižší možné číslo.

Example

Například v 8 bitovém systému s posunem \(N=128\) je číslo nula reprezentováno jako 128 (\(1000000\)).

Jedničkový doplněk

Jedničkový doplněk (též znám jako inverzní kód) reprezentuje záporná čísla tím, že zneguje všechny bity čísla. Je to jednoduché řešení, ovšem hůře se dělají aritmetické operace a opět existují dvě nuly.

Abstract

Dopsat jedničkový doplněk

Dvojkový doplněk

Dvojkový doplněk je binární číslo, které je znegované a zvětšené o jedničku.

Abstract

Dopsat dvojkový doplněk