Diferenciál

Diferenciál říká, jak moc se změní [[Úvod do funkcí#Základní pojmy k funkcím|funkční hodnota]] v závislosti na argumentu.

TL,DR: - Diferenciál funkce $f$ v bodě $a$ je $f'(a)h$ - Jestliže je derivace zapsána jako $\frac{df}{dx}$, pak $df$ je diferenciál.

Funkce má tedy v bodě diferenciál, pokud jde její přírustek vyjádřit jako

$$\large\Delta{f(a,h)}=f(a+h)-f(a)$$ - $a$ je argument funkce - $h$ je přírustek, který chceme diferenciálem vyjádřit

$$\large\Delta{f(a,h)}=A\cdot{h}+r(h)\cdot{h}$$ - Další způsob zápisu diferenciálu - $A$ je konstanta, která je rovna derivaci funkce v bodě $a$ ($A = f'(a)$) - $r$ je funkce limitně se blížící k nule ($\lim_{h\to0}r(h) = 0$)

Funkce má v bodě diferenciál jenom tehdy, pokud v něm má i [[Úvod do derivací#Vlastní a nevlastní derivace|vlastní derivaci]]. - Existuje diferenciál $\iff$ Existuje derivace

Značení

Výraz $f'(a)h$ - [[Úvod do derivací|derivaci]] v bodě $a$ krát okolí $h$ značíme pomocí.

Pro značení se tedy používá $df(a)$, tedy diferenciál ($d$) funkce v bodě a ($f(a)$). Vzhledem k tomu, že to je diferenciál funkční hodnoty, tak se také značí jako $dy$

[!example] Znázornění jednotlivých prvků diferenciálu funkce $f$ v bodě $c$:

![[Pasted image 20211101011046.png]]

## Jaký je rozdíl mezi diferenciálem a derivací? Možná jste si všimli, že diferenciál vypadá fakt hodně jako derivace. Je mezi nimi vůbec nějaký rozdíl? No, kdyby nebyl, tak by se nezaváděli dva různé termíny, že...

Derivace říká, jak rychle se hodnoty mění.
Diferenciál říká přesné číslo, o kolik se změní (+ chyba).