Konvoluce

Konvoluce je operací, která vytváří lineární kombinace hodnot funkce v malém okolí v závislosti na konvolučním jádře.

\[\begin{aligned} (x[n] \ast h[n]) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \cdot h[n-k] \end{aligned}\]

Kde \(x[n]\) je vstupní (diskrétní) signál a \(h[n]\) je konvoluční jádro. Konvoluční jádro určuje, jak moc ovlivní okolní hodnoty výsledek v daném bodě. Výsledná hodnota konvoluce v každém bodě je tak vážený součet hodnot vstupní funkce v malém okolí tohoto bodu.

Mezi dvě nejdůležitější vlastnosti konvoluce patří komunativita \(x \ast h = h \ast x\), což nám říká, že oba signály jsou rovnocenné a zaměnitelné, a asociativita \((x \ast h_1) \ast h_2 = x \ast (h_1 \ast h_2)\), což znamená, že můžeme více systémů sloučit do jednoho a získat tak jednu, finální, impulzní odezvu.

Příklad konvoluce

\[\begin{aligned} x[n] &= [2, 1, 0, -1, -2] \\ h[n] &= [1, 0, -1] \end{aligned}\]

Spočtěte konvoluce signálů \(x\) a \(h\).

\[(x[n] \ast h[n]) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \cdot h[n-k]\]

\[\begin{cases} n=0 & y[0] = x[0] \cdot h[0] = 2 \cdot 1 = 2\\ n=1 & y[1] = x[0] \cdot h[1] + x[1] \cdot h[0] = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \\ n=2 & y[2] = x[0] \cdot h[2] + x[1] \cdot h[1] + x[2] \cdot h[0] = 2 \cdot -1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = -2 \end{cases}\]

2D Konvoluce

Konvoluce pro 2D signály (zpravidla obrázky) je definována jako klasická konvoluce, akorát se provede do dvou směrů.

\[\begin{aligned} f[x, y] \ast h[x, y] &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f[m, n] \cdot h[x - m, y - n] \end{aligned}\]