Binomická věta

Jedná se o zobecnění známých vzorečků pro rozklad zárovek jako je \((a+b)^2\)

Formální zápis binomické věty: $$ (a+b)^n= \textcolor{red}{\sum^n_{k=0}} \textcolor{yellow}{n \choose k} \textcolor{orange}{a^{n-k}b^k}$$ $\(a, b \in \mathbb{R}\)$ $\(n \in \mathbb{N}\)$

Vysvětlení: Rozklad získáme tím, že - budeme počítat [[Sumace|sumu]] - od \(k\) (což je 0) - do \(n\) ("na kolikátou" závorku umocňuji) - suma se skládá ze dvou věcí - ze členu binomického rozvoje - a z proměnných s patřičnými exponenty

Jak ale spočítat člen binomického rozvoje? K tomu je možná dobrý si říct, co to vůbec binomický [[Rozvoj|rozvoj]] je.

Binomický rozvoj

Binomický rozvoj je to, čemu se říká po rozkladu vzorečku \((a+b)^n\).

$\((a+b)^2=\textcolor{cyan}{a^2+2ab+b^2}\)$ Pravá strana rovnice je binomický rozvoj, jelikož jsme výraz rozvinuli ze zkráceného tvaru...

Asi by to ale chtělo nějak šikovně vypočítat koeficienty jednotlivých proměnných, ne? K tomu nám může pomoct [[Pascalův Trojúhelník]], který nám pomáhá určit koeficienty binomického rozvoje - to jsou čísla před jednotlivými členy rozkladu.