Vietovy vzorce

Jedná se o sadu vzorců pro řešení (nejenom) kvadratických rovnic a polynomů.

\[\large \begin{align} x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} \\ \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} \end{align}\]

Vietovy vzorce obecně

Nejčastěji se Vietovy vzorce uplatňují pro rozklad kvadratického polynomu na součit dvou zárovek, ovšem jdou použít i na řešení polynomu $n$-tého stupně.

Pro každý polynom $n$-tého stupně, kde je větší nebo rovno 1

Koeficienty $a_n, a_{n-1}, ...$ náleží do reálních či komplexních čísel

Vietovovy vzorce předepisují $n$ rovnic, které vedou k nalezení $n$ kořenů.

$$\large p(x) = a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+... a_{1}x^{1}+a_0x^0$$ $$\large\begin{cases} x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\ (x_1x_2+...+x_1x_n)+(x_2x_3+...+x_2x_n)+...+x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\

{}\quad \vdots \ x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}} \end{cases}$$

Pro polynom druhého stupně

Pro polynom $p(x)=ax^{2}+bx+c$

\[\large \begin{align} x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} \\ \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} \end{align}\]

Pro polynom třetího stupně

Pro polynom $q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

\[\large \begin{align} x_1 + x_2 + x_3 &= -\frac{b}{a} \\ \\ (x_1x_2 + x_1x_3) + (x_2x_3) &= \frac{c}{a} \\ \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{d}{a} \end{align}\]