Signály a informace

Signál

Signál je v obecném smyslu jev, který nese informaci o stavu systému, ze kterého pochází. Může to být fyzikální veličina (např. elektrický proud, světelné záření, zvuková vlna), chemická látka, biologický proces, ekonomický ukazatel, nebo cokoli jiného, co nese informaci o nějakém ději nebo stavu.

Signály můžeme rozdělit do dvou hlavních kategorií:

Analogové signály: jsou spojité signály, které mění svou hodnotu plynule v čase.
Digitální signály: Jsou nespojité (diskrétní) signály, které nabývají jen konečného počtu hodnot.

Základní typy signálů

V oblasti zpracování signálů a elektroniky se běžně setkáváme s základními typy signálů, které slouží jako stavební kameny pro komplexnější signály a systémy. Mezi nejdůležitější patří jednotkový impulz a jednotkový skok.

Jednotkový impulz

Jednotkový impulz (Diracova delta funkce) je ideální signál s nekonečnou výškou a nulovou šířkou v jednom bodě v čase. To znamená, že pod křivkou impulzu v libovolném intervalu obsahujícím t = 0 je plocha rovna 1. V praxi je nemožné realizovat fyzický impulz s nekonečnou výškou, ale pro teoretické a analytické účely je Diracův impulz velmi užitečný.

\[ \begin{equation} \delta[n] = \begin{cases} 1 & \text{pro } n = 0 \\ 0 & \text{pro } n \neq 0 \end{cases} \end{equation} \]

Jednotkový skok

Jednotkový skok (Heavisidova funkce) je ideální signál, který má hodnotu 0 pro t < 0 a hodnotu 1 pro t ≥ 0. Matematicky se definuje jako:

\[ \begin{equation} u[n] = \begin{cases} 0 & \text{pro } n < 0 \\ 1 & \text{pro } n \geq 0 \end{cases} \end{equation} \]

Systémy

Systém je věc, která dokáže vytvářet, zpracovávat či vysílat signály.

Kauzalita systému

Stabilita systému

Časová závislost systému

Impulzní odezva

Impulzní odezva \(h[n]\) je funkce, která popisuje odpověď systému v závislosti na čase. Jinak řečeno, udává, jak systém reaguje na jednotkový impulz v čase.

Important

Výstup LTI systému lze plně právě impulzní odezvou, protože při konvoluci impulzní odezvy se vstupem dostaneme výstup celého systému

\[\begin{aligned} y[n] &= h[n] \ast x[n] \\ \end{aligned}\]

Přenosová funkce

Přenosová funkce \(H[z]\) je funkce, která popisuje odpověď systému v závislosti na frekvenci. Jinak řečeno, udává, jak systém reaguje na jednotlivé frekvence.

Note

Přenosová funkce ukazuje, jak systém jednotlivé frekvence zesiluje či zeslabuje.

\[\begin{aligned} y[n] &= h[n] \ast x[n] \\ Y[z] &= H[z] \cdot X[z] \end{aligned}\]

Lineární časově invariantní systémy

Lineární časově invariantní systémy (zkráceně LTI) jsou takové systémy, ve kterých platí dvě vlastnosti:

Linearita, kdy platí aditivita \(f(a + b) = f(a) + f(b)\) a homogenita \(f(\alpha \cdot a) = \alpha \cdot f(a)\)
Časová invariance, kdy platí \(f(x[t - t_0]) = y[t - t_0]\)

V praxi to znamená, že chování LTI systémů není závislé na čase. Díky tomu můžeme jeho výstup získat konvolucí s impulzní odezvou.