Skip to content

Cheatsheet na test 1

Obor konvergence mocninné řady

Vytkněte, co se dá (hlavně konstanty a exponenty): $\(\large \sum_{n}^{\infty} (x-x_0)^{an+b}\cdot{c}^n = (x-x_0)^b \cdot \sum_{n}^{\infty} (x-x_0)^{an}+{c}^n\)$ Vypočtetě střed konvergence: $\(\large S=-1 * x_0\)$ Vypočtetě poloměr konvergence: $\(\Large r=(\lim_{n\to\infty}\sqrt[an]{c^n})^{-1} \text{ nebo } \left(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^{-1}\)$ Určete interval konvergence a došetřete krajní body pomocí klasických kritérií konvergence + dosazení: $\(\Large x\in\left(S-r,S+r\right)\)$

Limita dvou a více proměnných

Zkuste dosadit - jsou tři scénáře, co se může stát: 1. Limita výjde jako reálné číslo \(\implies\) Limita existuje a tohle je výsledek 2. Limita výjde jako \(\Large\frac{a}{0}, \normalsize a\in\mathbb{R} \implies\) V tomhle bodě je asymptota \(\pm\) nekonečnu. O znaménku rozhoduje znaménko čísla \(a\). 3. Limita výjde \(\Large\frac{0}{0}, \normalsize\implies\) Musíme buďto zlomek nějak upravit, a nebo dokázat, že limita neexistuje.

Zkuste dvojí limitu $\(\Large \lim_{x\to\infty}(\lim_{y\to\infty}(a_n)) = \lim_{y\to\infty}(\lim_{x\to\infty}(a_n)) \implies \text{může existovat}\)$

Zkuste se k bodu přiblížit po přímce, pokud ve výsledku zbyde \(k\), je limita závislá na směrnici a limita neexistuje. $\(\Large y = k(x - x_0) + y_0\)$ $\(\Large \lim_{x\to\infty}f(x, k(x-x_0)+y_0)\)$

Popř. se zkuste přiblížit po vhodné mocnině, či dokonce odmocnině.

Derivace ve směru

  • Výpočtěte derivace ve směru jako (skalární) součin vektoru gradientu a vektoru koeficientů směrového vektoru: $\(\Large\nabla{f}\cdot\vec{v}\)$

  • Vypočtěte [[Gradient]]: $\(\Large\nabla{f} = (f_x, f_{x_1}, f_{x_2}, ...)\)$

  • Vypočtěte hodnotu gradientu v zadaném bodě $\(\Large\nabla{f}(x, x_1, x_2, ...)\)$

  • Vypočtěte délku směrového vektoru $\(\Large|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + (x_1)^2 + (x_2)^2 +\; ...}\)$

  • Normalizujte směrový vektor $\(\Large||\vec{v}|| = \left(\frac{v_1}{|\vec{v}|}, \frac{v_2}{|\vec{v}|},\;...\right)\)$

  • Vypočtěte [[Skalární součin]] normalizovaného směrového vektoru gradientu v zadaném bodě. $\(\Large ||\vec{v}|| \cdot \nabla{f}(x, x_1, x_2, ...)\)$

Tečná rovinna

\[\Large \tau: f(\vec{v_0})+\nabla{f}(\vec{v_0})\cdot(\vec{v}-\vec{v_0})\]
\[\Large \vec{v} = \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}, \vec{v_0} = \begin{bmatrix}x_0 \\ y_0\end{bmatrix}, \vec{v}-\vec{v_0} = \begin{bmatrix}x - x_0 \\ y - y_0\end{bmatrix}\]

Transformace diferenciálních výrazů

Jedná se akorát o derivaci složené funkce a substituci.

Taylorův rozvoj

\[\Large\begin{aligned} T_n = f(x_0, y_0) &+ \frac{1}{1!}d^1f(x_0,y_0)(h, k) \\&+ \frac{1}{2!}d^2f(x_0,y_0)(h, k) \\&+ \frac{1}{3!}d^3f(x_0,y_0)(h, k) \\&... \\&+ \frac{1}{n!}d^nf(x_0,y_0)(h, k) \end{aligned}\]
\[\Large d^nf=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}f_{x^{n-i}y^{i}}(x_0,y_0)(x-x_0)^{n-i}(y-y_0)^i\]

kde:

Proměnná Význam
\(\large n\) Řádek [[Pascalův Trojúhelník|Pascalova trojúhelníku]]
\(\large i\) Sloupec [[Pascalův Trojúhelník|Pascalova trojúhelníku]]
\(\large f_{xy}\) Derivace podle x, y. Exponenty říkají, kolikrát se podle proměnné derivuje.
\(\large (x_0, y_0)\) Bod, ve kterém děláme [[Taylorův Polynom]]
\(\large d^nf\) Diferenciál \(n\)-tého řádu funkce \(f\)