Hromadný bod

Hromadný bod je bod, v jehož okolí se hromadí nekonečně mnoho dalších bodů.

Přesnější definice

Trochu přesnější definicí hromadného bodu by bylo

Hromadný bod množiny \(M\) je prvek, pro který platí, že v jeho [[Okolí bodu#Redukované okolí|redukovaném okolí]], a to jakkoliv velkém, leží další prvky množiny \(M\). $\(\forall \epsilon > 0 : R(a, \epsilon)\cap M \not= \emptyset\)$ Pro každé okolí epsilon větší než nula existuje redukované okolí okolo hromadného bodu \(a\), které není prázdnou množinou.

Každé reálné číslo je hromadným bodem, protože ať zvolíme jakkoliv velké okolí, vždycky tam bude nekonečně mnoho dalších čísel.

Kdybychom ale zvolili množinu přirozených čísel, tak žádný hromadný bod neexistuje[^1].

K čemu vůbec je hromadný bod?

Hromadný bod nám řík

[^1]: Proč? Protože podmínka pro existenci hromadného bodu říká, že pro jakkoliv velké okolí, které je větší než nula musí existovat nějaké body z množiny. Teď si představte, kdyby nějaký ňouma dělal v množině přirozených čísel, a jako okolí si zvolil \(\frac{1}{2}\) - tak dostane prázdnou množinu. V množině přirozených čísel tedy neexistuje hromadný bod, protože vždycky můžeme najít okolí, pro které to nefunguje. Je to trochu neintuitivní, ale takhle to nějací ptáci v historii definovali, takže se tim musíme řídit ¯\_(ツ)_/¯