Derivace mocniny

Uvažujme o \(y = x^2\). Celý diferenciální počet je o tom, že hledáme poměr růstu mezi dvěma proměnnými. V tomhle případě nás zajímá, jak rychle se mění \(y\) v závislosti na \(x\). Jinak řečeno, jaký je poměr \(\frac{dy}{dx}\)

Nechme \(x\) se trochu zvětšit, takže se z něho stane \(x + dx\). Poté se zákonitě musí také zvětšit \(y\), a to na \(y + dy\). $$ \Large \begin{aligned} y &= x^2 \ &\downarrow \ y + dy &= (x + dx)^2 \ y + dy &= x^2 + 2x \cdot dx + (dx)^2 \end{aligned} $$ Když se podíváme na upravenou rovnici, tak vidíme, že máme \(x^2\), člen s malou změnou \(2x\cdot dx\) a člen malé změny, která je ještě změněna o malou změnu - \((dx)^2\). Ten poslední člen můžeme bezpečně zahodit, protože změna změny nás úplně nezajímá, když už máme změnu jako takovou v členu \(2x\cdot dx\).

$$ \Large \begin{aligned} y + dy &= x^2 + 2x \cdot dx + \cancel{(dx)^2} \ &\downarrow \ y + dy &= x^2 + 2x \cdot dx \end{aligned} $$ Pokud budem pokračovat v úpravách dál, abychom našli náš žádáný poměr, tedy ak moc roste \(y\) v závislosti na \(x\). Abychom se zbavili \(y\), tak využijeme toho, e \(y = x^2\): $$ \Large \begin{aligned} y + dy &= x^2 + 2x \cdot dx\ &\downarrow \ x^2 + dy &= x^2 + 2x \cdot dx &&\text{/}-x^2 \ dy &= 2x \cdot dx &&\text{/}\normalsize\frac{1}{dx} \

\Aboxed{\frac{dy}{dx} &= 2x} \end{aligned} $$

Tomuhle postupu se říká derivování funkce (\(y\)) podle proměnné \(x\). Derivace není nic jiného než nalezení tohodle poměru. Nikdo to takhle zdlouhavě nepočítá, proto se používá pravidlo pro derivování mocnin, které by nám od hnedka z místa dalo tenhle výsledek.