Derivace

Derivace funkce udává změnu její [[Úvod do funkcí#Základní pojmy k funkcím|funkční hodnoty]] v poměru k argumentu.

[!tldr] - Derivace je tečna ke křivce, která popisuje rychlost změny funkční hodnoty a argumentu - Derivace se počítají pomocí směrnice sečny, kde se vzdálenost mezi body na sečně limitně blíží k nule $$\Large\lim_{h\to 0} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$$ tady je vzoreček pro dva body, což je v podstatě to samý, ale jinak napsaný: $$\Large\lim_{b\to a} = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$$

Pokud máme nějakou křivku, na které si zvolíme bod, tak derivace není nic jiného, než určení [[Předpis funkce|předpisu]] [[Tečna|tečny]][^2], která se dotýká právě v tomhle bodě.

[!example] Derivace funkce $f(x)=x^2$ v bodě $D$ ![[Pasted image 20211026230823.png]]

K zjištění předpisu tečny (modré čáry) potřebujeme nějak odhadnout úhel $\alpha$, nebo nějak jinak vyjádřit její naklonění či směr.

Vzhledem k tomu, že to je lineární funkce - neboli nějaká přímka, tak její směr můžeme vyčíst ze [[Směrnicový tvar přímky|směrnicového tvaru přímky]] - od toho se tak taky jmenuje, ne? Na výpočet [[Směrnicový tvar přímky#Směrnice přímky|směrnice přímky]] ale potřebujeme pracovat s [[Goniometrické funkce|goniometrickými funkcemi]], to znamená, že potřebujeme trojúhelník.

Musíme mít na přímce tedy alespoň 2 body, abychom vytvořili pravoúhlý trojúhelník a mohli používat goniometrické funkce - tedy místo tečny musíme počítat se sečnou.

Vybereme si tedy bod další bod na křivce, který není totožný s derivovaným bodem, a vytvořím [[Sečna|sečnu]].

[!example] Sečna procházejícím body $(a, f(a))$ a $(b, f(b))$ ![[Pasted image 20211026231911.png]]

Jak budeme vzdálenost mezi těmito body zmenšovat, tak bude sečna blíž a blíž připomínat námi hledanou [[Tečna|tečnu]].

[!example] Body $C_1$ a $C_2$, které se blíží k bodu $A$ Směrnice sečen, na kterých body $C_1$ a $C_2$ leží (čárkované čáry) se víc a víc blíží k námi hledané tečně.

![[Pasted image 20211026233029.png]]

Problém ale je, že se ať si body přiblížíme jak chcem, tak pořád nemůžeme tyto body spojit do jednoho, jinak bychom [[Směrnicový tvar přímky#Směrnice přímky|směrnici]] nemohli vypočítat[^1]. Máme tedy nějaký nástroj, který by nám ten druhý bod přiblížil nekonečně blízko? No samozřejmě. [[Limita funkce|Limity]].

Zápis, kde se nám $b$ limitně blíží k $a$ $$\Large\lim_{b\to a} = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$$

Body k sobě limitně přiblížíme tak blízko, že budou v podstatě jeden.

Pokud bychom si vzdálenost mezi těmi dvěma body ležícími na sečně označili nějakým písmenkem (např. $h$), tak můžeme zkoumat [[Limita funkce|limitu]], když by se tahle vzdálenost $h$ blížila k nule.

[!example] Zápis pomocí vzdálenosti $h$ $$\Large\lim_{h\to 0} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$$ ![[Pasted image 20211026235429.png]]

Těmto limitám se říká derivace v bodě funkce a značíme jí jako název funkce s apostrofem (např. $f'(x)$). - Počet apostrofů u názvu funkce říká, kolikátá derivace to je. - Místo apostrofu se tam může objevit číslo či proměnná, což nám říká tu samou informaci

Vlastní a nevlastní derivace

Stejně jako limity mohou být derivace vlastní nebo nevlastní - Vlastní derivace má hodnotu rovnou nějakému [[Číselné množiny#Reálná čísla|reálnému číslu]] - Nevlastní derivace má hodnotu $\pm\infty$.

Věci co se hodí znát

Linearita derivace	$(c_1f+c_2g)'=c_1f'+c_2g'$
Derivace součinu	$(fg)'=f'g+fg'$
Derivace podílu	$(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$
Derivace složené funkce	$f(g(x))'=f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Derivace harmonických funkcí	$(\sin{x})' = \cos{x}; (\cos{x})'=-\sin{x}; (-\sin)' = -\cos{x}; (-\cos{x})'=\sin{x}$
Derivace konstanty	$C'=0$
Derivace polynomiální funkce	$(x^n)'=n \cdot x^{n-1}$
Derivace mocniné funkce	$(c^x)'=c^x \cdot ln(c)$
Derivace exponenciální funkce	$(e^x)'=e^x$
Derivace logaritmické funkce	$(\log_a{x})'=\frac{1}{x \cdot \ln{(a)}}$ pro $x>0, a \neq 1, a>0$
Derivace přirozeného logaritmu	$(\ln{(x)})'=\frac{1}{x}$ pro $x>0$

[^1]: Vzhledem k tomu, že výpočet směrnice je podíl dvou rozdílů v hodnotách, tak by nám tam vyšlo $\frac{0}{0}$, což je dělění nulou a tím pádem nedefinovaná operace. [^2]: Není to úplně pravda, protože neurčujeme předpis přímky, nýbrž její směrnici, jak se dočtete dál.

Linearita derivace	\((c_1f+c_2g)'=c_1f'+c_2g'\)
Derivace součinu	\((fg)'=f'g+fg'\)
Derivace podílu	\((\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)
Derivace složené funkce	\(f(g(x))'=f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
Derivace harmonických funkcí	\((\sin{x})' = \cos{x}; (\cos{x})'=-\sin{x}; (-\sin)' = -\cos{x}; (-\cos{x})'=\sin{x}\)
Derivace konstanty	\(C'=0\)
Derivace polynomiální funkce	\((x^n)'=n \cdot x^{n-1}\)
Derivace mocniné funkce	\((c^x)'=c^x \cdot ln(c)\)
Derivace exponenciální funkce	\((e^x)'=e^x\)
Derivace logaritmické funkce	\((\log_a{x})'=\frac{1}{x \cdot \ln{(a)}}\) pro \(x>0, a \neq 1, a>0\)
Derivace přirozeného logaritmu	\((\ln{(x)})'=\frac{1}{x}\) pro \(x>0\)