Komplexní čísla

Bohužel pro nás existují případy, kdy reálná čísla nestačí - resp. některé operace nejsou v reálných číslech definovány. Asi nejčastějším případem je například odmocnění záporného čísla.

Pro takovéhle případy vznikly čísla komplexní ($\mathbb{C}$-čísla), která se skládají ze dvou složek - reálné složky - a imaginární složky.

Komplexní čísla tedy vznikly tak, že se k ose reálných čísel přidala kolmá osa čísel imaginárních. - Osa reálných čísel obsahuje všechna reálná čísla - Osa imaginárních čísel obsahuje násobky imaginární jednotky $j$

Matematici běžně označují imaginární jednotku písmenkem i, já ji ale budu označovat písmenkem j, protože jsem si na to takhle zvykl v elektrotechnice, kde písmenko i je už zabrané pro proud - viz [[Praktické využití komplexních čísel]]

Důležité vztahy pro práci s komplexními čísly

Nejdůležitějším vzorcem v reálných číslech je tento:

\[j^2 = -1\]

Tento vzoreček nám říká, že imaginární část na druhou je rovna mínus jedničce.

Tuto definici lze rozšířit i pro další mocniny imaginární složky, kde platí následující tabulka: ^{($n\in\mathbb{N}$.)}

Odmocnina	Výsledek
$j^{4n}$	$1$
$j^{4n+1}$	$j$
$j^{4n+2}$	$-1$
$j^{4n+3}$	$-j$

Tvary komplexních čísel

Komplexní čísla lze reprezentovat v několika tvarech, mezi kterými lze převádět a ve kterých se některé operace provádí lépe než v jiných.

Algebraický tvar

Nejzákladnějším tvarem je algebraický tvar, který nám říká velikosti jednotlivých složek. Píše se ve tvaru $a+b{j}$, kde $a$ je reálná složka a $bj$ je imaginární složka.

[!example] Příklad komplexního čísla reprezentovaného na grafu $\bar{A}=3+4j$

![[Pasted image 20211013231805.png]]

Pokud bychom chtěli zjistit vzdálenost od počátku souřadné soustavy, nebo-li "velikost" komplexního čísla, použijeme k tomu pythagorovu větu:

\[\large|A|=\sqrt{3^2+4^2}\]

Obecněji tedy zapsáno jako: $$\large|A|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Goniometrický tvar

Goniometrický tvar nám uchovává informaci o - vzdálenosti od počátku - a úhlu naklonění

\[\large\bar{A}=(|A|\cdot\cos{\phi})+(|A|\cdot\sin{\phi})\]

[!example] Příklad čísla prezentovaného v goniometrickém tvaru

![[Pasted image 20211013232352.png]]

[!info] $$\begin{aligned} A_{RE }&= |A| \cdot \cos{\varphi} \\ A_{IM} &= |A| \cdot \sin{\varphi} \\ |A| &= \sqrt{A_{RE}^2+A_{IM}^2} \\ \varphi &= \arctan{ \frac{A_{RE}}{A_{IM} }} \end{aligned}$$

Exponenciální tvar

Exponenciální tvar má hodně blízko ke tvaru goniometrickému, ale používá Eulerova čísla k vyjádření úhlu a imaginární složky.

\[\large\bar{A} = |A| \cdot e^{j \cdot \varphi}\]

Jak se s jednotlivými tvary pracuje a kdy je výhodné jaký použít se lze dočíst v dokumentu [[Operace s komplexními čísly]].

Odmocnina	Výsledek
\(j^{4n}\)	\(1\)
\(j^{4n+1}\)	\(j\)
\(j^{4n+2}\)	\(-1\)
\(j^{4n+3}\)	\(-j\)