Kvadratická forma
Formální definice kvadratické formy funkce $\(\Large Q(x) = \sum_{i = 1}^{n}a_{ii}x_{i}^2 + 2\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{i - 1}a_{ij}x_{i}x_{j}\)$ První suma bere diagonální členy matice, druhý člen bere prvky pod diagonálou, a protože je matice symetrická, vezmou se dvakrát.
Kvadratickou formu lze reprezentovat pomocí [[Matice|matice]],
\[\Large
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}\]
Definitiní formy
| Název formy | Podmínka |
|---|---|
| Pozitivně definitní | \(Q(x) \gt 0, \forall x \not= [0, ..., 0]\) |
| Pozitivně semidefinitní | \(Q(x) \ge 0, \exists x \not= [0, ..., 0]\) |
| Negativně definitní | \(Q(x) \lt 0, \forall x \not= [0, ..., 0]\) |
| Pozitivně semidefinitní | \(Q(x) \le 0, \exists x \not= [0, ..., 0]\) |
| Indefinitní | Pokud nenastala jedna z předchozích možností |
Příklady
\(\large Q(x, y) = x^2 + y^2\) Forma je pozitivně definitní, protože kromě počátku jsou všechny funkcní hodnoty kladné.
\(\large Q(x, y, z) = x^2 + y^2\) Forma je pozitivně semidefinitní, protože počátek je sice v počátku \([0, 0, 0]\), ale po dosazení bodu \([0, 0, z]\) je funkční hodnota taky nulová, nerovnost tedy není ostrá.