Frobeniova věta

Frobeniova věta říká, za jakých podmínek má soustava lineárních rovnic řešení.

TL,DR:

Frobeniova věta slouží jako propojení [[Matice|matic]] a [[Lineární zobrazení|lineárního zobrazení]], jelikož každé lineární zobrazení lze reprezentovat maticově a naopak, každá matice představuje nějaké lineární zobrazení.

Pro názornost to vezmeme z obou konců.

Definice z pohledu matic

Frobeniova věta říká, že soustava lineárních rovnic má řešení, pokud se [[Hodnost matice|hodnost matice]] soustavy rovná [[Hodnost matice|hodnosti]] [[Rozšířená matice|rozšířené matice]] soustavy.

Znamená to, že matice levé strany rovnic musí mít stejnou hodnost jako matice pravé strany rovnic. Ještě jinak řečeno, musí mít stejně nenulových řádků.

Matice $$\begin{bmatrix} 1 & 2 &\bigm| & 3 \\ 5 & 8 &\bigm| & 4 \\ \end{bmatrix}$$ Má řešení, protože se hodnost levé strany $h(M_L)$ rovná hodnosti matice pravé strany $h(M_P)$

Matice $$\begin{bmatrix} 3 & 9 &\bigm| & 7 \\ 45 & 15 &\bigm| & 5 \\ 0 & 0 &\bigm| & 0 \\ \end{bmatrix}$$ Má řešení, protože se opět hodnosti rovnají

Ale matice $$\begin{bmatrix} 3 & 9 &\bigm| & 7 \\ 45 & 15 &\bigm| & 5 \\ 0 & 0 &\bigm| & 7 \\ \end{bmatrix}$$ Nemá řešení, protože se hodnosti se nerovnají

\[\begin{aligned} h(M_L)&= 2 \\ h(M_P)&=3 \\ 2 \not=3 &\implies h(M_L) \not= h(M_P) \end{aligned}\]

Definice z pohledu lineárního zobrazení

Je-li $L$ [[Lineární zobrazení|lineární zobrazení]] - z prostoru $U(M, \oplus, \otimes)$ - do prostoru $V(N, \oplus, \otimes)$

a dán vektor $b$ z prostoru obrazů (prostor $V$), tak platí, že - Řešení existuje, náleží-li vektor $b$ do oboru hodnot zobrazení $L$ - Pokud řešení existuje a náleží do prostoru vzorů, pak mohou existovat i další vzory - Další vzory musí splňovat to, že se dají vyjádřit jako vektorový součet původního vzoru a vektoru z [[Jádro zobrazení|jádra zobrazení]] $L$.

prvek $b$, který náleží do množiny obrazů ($b \in N$), poté můžeme hledat takové vzory, které se zobrazí právě do prvku $b$.

Jak spolu tyto definice souvisí

Doplnit později