Příklad 1.2

Najděte inverzní funkci k funkci \(f(x) = \frac{2-5\sin{(2x-1)}}{2}\) a určete definiční obory a obory hodnot tak, aby na těchto oborech byly tyto funkce navzájem inverzní.

Hledání inverzní funkce

$$\large\begin{aligned}

f(x): y &= \frac{2-5\sin{(2x-1)}}{2} \ f^{-1}(x): x &= \frac{2-5\sin{(2y-1)}}{2} \

\\

x &= \frac{2-5\sin{(2y-1)}}{2} && /\cdot 2\ 2x &= 2-5\sin{(2y-1)} && /-2\ 2x-2 &= -5\sin{(2y-1)} && /:(-5)\ -\frac{2x-2}{5} &= \sin{(2y-1)} && /\arcsin{(x)} \ \arcsin{\left(-\frac{2x-2}{5}\right)} &= 2y-1 && /+1\ \arcsin{\left(-\frac{2x-2}{5}\right)} + 1 &= 2y && /:2\ \frac{1}{2}\left(\arcsin{\left(\frac{2-2x}{5}\right)} + 1\right) &= y\ \boxed{\frac{1}{2}\left(\arcsin{\left(\frac{2-2x}{5}\right)} + 1\right)} &= y

\end{aligned}$$

Určení oborů

Interval prostosti funkce \(\text{arcsin}(x)\) je \(\left(0,1\right)\).

$$\large\begin{aligned} -\frac{\pi}{2} &\le 2x-1 &\le \frac{\pi}{2} \ -\frac{\pi}{2}+1 &\le 2x &\le \frac{\pi}{2}+1 \ -\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} &\le x &\le \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \ \frac{2-\pi}{4} &\le x &\le \frac{2+\pi}{4} \\

x &\in \boxed{\left<\frac{2-\pi}{4}, \frac{2+\pi}{4}\right>} \end{aligned}$$

$$\large\begin{aligned} -1 &\le \frac{2-2x}{5} &\le 1 \ -5 &\le 2-2x &\le 5 \ -7 &\le -2x &\le 3 \ -\frac{7}{2} &\le -x &\le \frac{3}{2}\ \frac{7}{2} &\ge x &\ge -\frac{3}{2}\

\\

x &\in \boxed{\left<-\frac{3}{2}, \frac{7}{2}\right>} \end{aligned}$$