Řetězové zlomky

Řetězové zlomky jsou způsob, jak zapsat libovolné reálné číslo jako součet celých čísel a zlomků, které na sebe navazují. Tomuto procesu se říká diofantická aproximace. Každé číslo, které není celé, můžeme rozložit na celočíselnou část a zbytek, který se dá zapsat jako zlomek:

\[\alpha = q_0 + \frac{1}{\alpha_1}\]

Pokud není \(\alpha_1\) přirozené číslo, lze postup opakovat a nahradit \(\alpha_1\) aproximací s novým zbytkem

\[\alpha = q_0 + \frac{1}{q_1 + \frac{1}{\alpha_2}}\]

Opakováním tohoto postupu získáváme stále přesnější hodnoty diofantické aproximace.

\[\alpha = q_0 + \frac{1}{q_1 + \frac{1}{q_2 + \frac{1}{q_3 + \frac{1}{\ldots}}}}\]

Pokud je číslo racionální (zlomek), postup se dříve či později zastaví, protože dostaneme celé číslo. U iracionálních čísel se tento proces nezastaví a vytváří nekonečný řetězový zlomek. Jednotlivé mezivýsledky při vytváření řetězového zlomku se nazývají přibližné zlomky.

Jednodušší zápis řetězových a přibližných zlomků

Protože nás v řetězových a přibližných zlomcích zajímají pouze celé části \(q_i\), tak je budeme psát do seznamu pomocí písmena \(\delta\). Pro \(n\)-tý přibližný zlomek vypadá \(\delta_n\) takto:

\[\delta_n = [q_0, q_1, ..., q_n]\]

Vytváření řetězových zlomků

Řetězové zlomky vytváříme pomocí Euklidova algoritmu.