Technika vyšetřování konvergence nekonečných řad

Tento dokument se snaží shrnout postup, jakým lze vyšetřovat konvergenci řady.

Ověření nutné podmínky konvergence řady.

Jako první by se měla ověřit [[Nutná podmínka konvergence]], která nám dá vodítko k tomu, zda má vůbec smysl řadu vyšetřovat.

[!quote] [[Nutná podmínka|Nutná podmínka]] konvergence řady: Řada \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) může konvergovat jen a pouze, když je \(\lim_{n\to\infty}a_n = 0\)

Pokud limita výjde nula, můžeme pokračovat s vyšetřováním. Pokud výjde jinak, píšeme, že je řada divergentní a máme hotovo.

Použití kritérií konvergence

Jestliže už víme, že řada může konvergovat, je na čase použít kritéria konvergence. Nejčastěji se asi používají [[Odmocninové kritérium#Limitní odmocninové kritérium|limitní odmocninové kritérium]] a [[Podílové kritérium#Limitní podílové kritérium|limitní podílové kritérium]]. Samozřejmě se hodí znát i další kritéria, jako je např. [[Integrální kritérium]] či [[Srovnávací kritérium]].

Vyšetření oboru konvergence

Některé řady mohu být zadány s parametrem (např. \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x-2}{n}\)). Poté je potřeba vyšetřit, s jakými hodnotami parametru daná řada konverguje.

Máme-li nějakou mocninnou řadu, např. výše zmíněnou \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x-2}{n}\), postupujeme následovně: 1) Vypočítáme střed oboru konvergence, neboli \(x-2 = 0 \implies x = 2\). 2) Vypočítáme poloměr konvergence 1) Buďto pomocí "převráceného odmocninového kritéria" \((\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n})^{-1}\) 2) nebo pomocí "převráceného podílového kritéria" \(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\)