Permutace (Symetrické grupy)

Výpočet inverzní permutace

Pro cyklus \((i_1, i_2, i_3, \ldots, i_n)\) vytvoříme inverzi otočením pořadí prvků v cyklu (\(i_n, i_{n-1}, i_{n-2}, \ldots, i_1\))

Zápis cyklu jako součin transpozic

Cyklus \((i_1, i_2, i_3, \ldots, i_n)\) lze zapsat jako součin transpozic \((i_1, i_2)(i_1, i_3)\cdot \ldots \cdot (i_{1}, i_n)\)

Umocňování cyklů

Umocňování cyklu funguje tak, že každý prvek cyklu se posune o \(n \mod{k}\) pozic doprava, kde \(n\) je exponent a \(k\) je délka cyklu, přičemž výsledný cyklus se uzavírá zpět na začátku.

\[\begin{aligned} \pi &= (1234)\\ \pi^2 &= (13)(24)\\ \pi^3 &= (1432) \\ \pi^4 &= (1)(2)(3)(4) \end{aligned}\]

Sudé a liché permutace

Permutaci nazveme sudou, jestliže ji lze zapsat ve tvaru součinu sudého počtu transpozic. Ostatní permutace nazýváme liché.

\[\sigma{(\pi)} = (-1)^n\]

kde \(n\) je počet sudých cyklů v permutaci.

Zjistěte znaménko permutace \(\sigma(\pi^{17} \cdot \rho^{22} \cdot \tau^{-122} \cdot x^{5841})\).

\[\begin{aligned} \pi &= (1,4,2,9,6,3,10,11) \\ \rho &= (1,3,2,8,11)(4,6,10)(5,9) \\ \tau &= (1,4,5,7,3)(8,9,11)\\ x &= (1,5)(2,7,11,6)(3,4,9) \\ \\ \sigma(\pi) &= (-1)^1 \\ \sigma(\rho) &= (-1)^1 \\ \sigma(\tau) &= (-1)^0 \\ \sigma(x) &= (-1)^2 \\ \\ \sigma(\pi^{17} \cdot \rho^{22} \cdot \tau^{-122} \cdot x^{5841}) &= {\sigma(\pi)}^{17} \cdot {\sigma(\rho)}^{22} \cdot {\sigma{(\tau)}}^{-122} \cdot {\sigma{(x)}}^{5841} \\ &= {((-1)^1)}^{17} \cdot {((-1)^1)}^{22} \cdot {((-1)^0)}^{-122} \cdot {((-1)^2)}^{5841} \\ &= (-1) \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \\ &= \boxed{-1} \end{aligned}\]

Znaménko permutace