Limita posloupnosti

Posloupnost $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ má (vlastní) limitu v bodě $a$, pokud pro libovolně velké [[Okolí bodu|okolí]] platí, že rozdíl prvku a limity je menší než okolí.

Definice vlastní limity posloupnosti: Posloupnost má vlastní limitu v oboru reýlných čísel, jestliže pro každé [[Okolí bodu|okolí]] epsilon existuje pořadové číslo (index) $n_0$, od kterého každy prvek s vyšším pořadovým číslem spadá do prostoru ohraničeného okolím epsilon.

![[Pasted image 20211210135426.png]]

Jednoznačnost limity posloupnosti: Každá posloupnost může mít nejvýše jednu limitu.

Konvergence a divergence

Konvergence Pokud posloupnost má vlastní limitu, tak se body sbíhají k sobě. V tomto případě říkáme, že posloupnost konverguje (k bodu limity).

\[\Large\lim_{n\to\infty} a_n = a\]

Divergence Pokud posloupnost nemá vlastní limitu, tak říkáme, že posloupnost diverguje.

Kdy limita neexistuje

Limita posloupnosti neexistuje v případě, kdy najdeme dvě [[Vybraná posloupnost|vybrané posloupnosti]], které obě mají různé limity.

Příklady

Hledejte limitu posloupnosti $\Large\{\frac{1}{n}\}_{n=1}^\infty$. Výsledek dokažte pomocí definice limity.

Když za $\Large\frac{1}{n}$ budeme dosazovat větší a větší číslo, tak bude vznikat menší a menší číslo, tudíž se bude zlomek víc a víc blížit k nule.

Pro libovolné $\large\varepsilon \gt 0$ platí, že $\large|a_n - a| \lt \varepsilon$. $$\large\begin{aligned} |a_n - a| &\lt \varepsilon \\ |\frac{1}{n} - 0| &\lt \varepsilon \\ |\frac{1}{n}| &\lt \varepsilon \end{aligned}$$ Protože $\varepsilon$ bylo libovolné číslo větší než nula, tak $\Large\frac{1}{n}$ musí být menší nebo rovno nule. Vzhledem k tomu, že je zlomek v absolutní hodnotě, tak jediné vyhovující číslo je 0.

Uveďtě výsledek limity $\large\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{x}}$ pro $x \ge 0$.

\[\large \lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{x}} = \lim_{n\to\infty}{x^{\frac{1}{n}}} = x^{\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}}} = x^0 = 1 \]