Příklad 2.48

Spočtěte \(\Large\lim_{x\to1}\frac{\sin{(1-x)}}{(x^2-1)^2}\)

$$\Large \begin{aligned}

&\lim_{x\to1}\frac{\sin{(1-x)}}{(x^2-1)^2} \

=& \lim_{x\to1}\frac{0}{0} \

\\ &\text{It's L'Hospital Time:} \\

=& \lim_{x\to1}\frac{-\cos{(1-x)}}{4x^3-4x} \

=& \lim_{x\to1}\frac{-\cos{(1-x)}}{4x^3-4x} \

=& \lim_{x\to1}\frac{-1}{0} \

\end{aligned} $$

Limity zleva a zprava

$$\Large \begin{aligned}

&\lim_{x\to1}\frac{\sin{(1-x)}}{(x^2-1)^2} \

\\

=& \lim_{x\to1^+}\frac{\text{\normalsize Vychází záporně}}{\text{\normalsize Vychází kladně}} \

=& \lim_{x\to1^+}\text{\normalsize Vychází záporně} \

\\

=& \lim_{x\to1^-}\frac{\text{\normalsize Vychází kladně}}{\text{\normalsize Vychází kladně}} \

=& \lim_{x\to1^-}\text{\normalsize Vychází kladně} \

\end{aligned} $$

Limita zprava letí k \(+\infty\), zatímco limita zprava k \(-\infty\), limita tudíž neexistuje, protože se limita zleva nerovná limitě zprava.