Úvod do funkcí

Funkci si můžeme představit jako stroj, do kterého když vložíme nějaký vstup, tak on nám vyplivne nějaký výstup.

\[x \to f(x) \to y\]

Trochu formálněji můžeme říct, že funkce určuje vztah mezi sadou vstupů a sadou výstupů, kde každý vstup nějak souvisí s nějakým výstupem.

Sadu vstupů nazýváme definičním oborem
Sadu výstupů nazýváme oborem hodnot
Vztahem, který určuje, jak ze vstupu udělat výstup, nazýváme předpis funkce

Trochu formálněji můžeme říct, že funkce určuje vztah mezi sadou vstupů a sadou výstupů, kde každý vstup nějak souvisí s nějakým výstupem. Samozřejmě jak to vevnitř ten vstup zpracovává už je ta složitější část, a naším úkolem je ve většině případů právě zkoumat tento postup a jeho chování v různých hodnotách.

Základní pojmy k funkcím

Tenhle text je z pohledu matiky trochu nepřesnej, hlavně co se terminologie týče. Hodím Vám se na konec tedy tabulku základních pojmů, kterou budu naskrz dokumenty rozšiřovat.

Pojem	Význam
Jméno funkce	Název, pod kterým se funkce používá. Nejčastěji písmena \(f, g, h, ...\)
Parametr funkce	Jedná se o vstupy, se kterými funkce pracuje. Nejčastěji písmenko \(x\)
Argument funkce	Konkrétní parametr, s kterým funkci "voláme"
Funkční hodnota	Hodnota, kterou nám funkce vrátí po zavolání

Druhy funkcí

Jednotlivé druhy funkcí jsou rozepsané ve samostatných souborech, zde je tedy rychlý přehled:

Funkce	Příklad
[[Lineární funkce]]	\(f(x)=x\)
[[Lomenné funkce]]	\(f(x)=\frac{1}{x}\)
[[Kvadratická funkce]]	\(f(x)=x^2\)
[[Exponenciální funkce]]	\(f(x)=x^n\)
[[Logaritmus]]	\(f(x)=\log{x}\)
[[Absolutní hodnota]]	\(f(x)=abs({x})\)
[[Goniometrické funkce]]	\(f(x)=\sin{x}\)
[[Cyklometrické funkce]]	\(f(x)=\arcsin{x}\)

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné jsou takové funkce, které mají jeden vstup a jeden výstup. Trochu formálněji tvrdíme, že se jedná o zobrazení \(R \to R\).

Jednoznačnost

Jednoznačnost funkce říká, že pro jeden parametr musí existovat pouze jedna funkční hodnota - tedy pro každý vstup existoval pouze jeden výstup.

Pro každé \(x\) musí existovat právě jedno \(y\).

Monotonie

Monotónnost funkce je vlastnost, která nám zobecňuje, jakým způsobem se její výstupní hodnota mění v závislosti na změně vstupní hodnoty.

Definice monotónnosti funkce

Mějme funkci definovanou na intervalu \(J\) a čísla \(a\) a \(b\) z intervalu \(J\), kde \(a\) je menší než \(b\) (\(a < b\)).

Pokud platí, že:

\(\large f(a) \lt f(b)\), tak je funkce rostoucí v intervalu \(J\).
\(\large f(a) \gt f(b)\), tak je funkce klesající v intervalu \(J\).
\(\large f(a) \le f(b)\), tak je funkce neklesající v intervalu \(J\).
\(\large f(a) \ge f(b)\), tak je funkce nerostoucí v intervalu \(J\).

Monotónnost nazýváme ryzí, pokud je buďto pouze rostoucí, nebo pouze klesající.

Omezenost

Funkce je

Zhora omezená, pokud je obor hodnot zhora omezený.
Zdola omezená, pokud je obor hodnot zdola omezený.
Omezená, pokud je obor hodnot shora i zdola omezený.
Neomezená, pokud není obor hodnot nijak omezený.

Co znamená, že je obor hodnot nějakým způsobem omezený? Znamená to, že existuje nějaké číslo \(K\), které je větší/menší nebo rovno všem funkčním hodnotám v oboru hodnot, tedy existuje nějaké supremum nebo infimum pro obor hodnot.

Parita

Parita funkce říká, jakým způsobem je funkce "symetrická".

Pokud je funkce osově souměrná podle osy y, je tzv. sudá ^2b6cc5
Pokud je funkce středově souměrná podle počátku (0), je tzv. lichá
Pokud se funkce "opakuje", říkáme, že je periodická.

Prostost

Funkce je prostá, když pro každý prvek definičního oboru má přiřazené různé prvky v oboru hodnot. To znamená, že "se \(y\) nikdy neopakuje."

Definice prosté funkce

Funkce je prostá, pokud platí, že dva různé prvky z definičního oboru nemají stejnou funkční hodnotu. Jinak řečeno, každé \(x\) má různý \(y\).

\[\begin{aligned} f(x_1) \not= f(x_2) &\implies \large\text{Funkce je prostá} \end{aligned}\]

Spojitost

Související

[[Funkce jedné proměnné]]