Teorie čísel

Posloupnosti

Posloupnost prvků je zobrazení $M \to \mathbb{N}$, kde $M$ je množina prvků. Ke každému prvku množiny je přiřazeno přirozené číslo, tzv. index.

Nekonečné řady

Aritmetika limit posloupností

Pravidla o aritmetice limit posloupností je soubor pravidel, které diktují, jak můžeme limity posloupnostní upravovat a jaké vztahy pro ně platí.

\[\Large\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}{a_n} &= a \\ \lim_{n\to\infty}{b_n} &= b \\ \\ \lim_{n\to\infty}{a_n + b_n} &= a + b \\ \lim_{n\to\infty}{a_n - b_n} &= a - b \\ \lim_{n\to\infty}{a_n \cdot b_n} &= a \cdot b \\ \large\text{pro }b \not= 0: \Large\lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{b_n}} &= \frac{a}{b} \end{aligned}\]

Limita monotónní posloupnosti

Existence limity monotónní posloupnosti: [[Monotónnost posloupnosti|Monotónní posloupnost]] je [[Vlastní limita posloupnosti#Konvergence a divergence|konvergentní]] jenom tehdy, když je [[Omezení posloupnosti|omezená]].

Vlastní limita neklesající posloupnosti: Pokud je posloupnost neklesající a - Není shora omezená $\implies$ Má nevlastní limitu v $+\infty$ - Je shora omezená $\implies$ Má vlastní limitu v [[Omezení množiny#Supremum a infimum|supremu]] posloupnosti.

Vlastní limita nerostoucí posloupnosti: Pokud je posloupnost nerostoucí a - Není zdola omezená $\implies$ Má nevlastní limitu v $-\infty$ - Je zdola omezená $\implies$ Má vlastní limitu v [[Omezení množiny#Supremum a infimum|infimu]] posloupnosti.

Monotónnost posloupnosti

Mějme posloupnost $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$, poté říkáme, že je:

Monotónie	Zápis	Vysvětlení
Rostoucí	$\forall{n}\in\mathbb{N} : a_n < a_{n+1}$	Pro každé $n$ z přirozených čísel, pokud je prvek na pozici $n$ menší než prvek na pozici $n+1$, je posloupnost rostoucí.
Klesající	$\forall{n}\in\mathbb{N} : a_n > a_{n+1}$	Pro každé $n$ z přirozených čísel, pokud je prvek na pozici $n$ větší než prvek na pozici $n+1$, je posloupnost klesající.
Nerostoucí	$\forall{n}\in\mathbb{N} : a_n \le a_{n+1}$	Pro každé $n$ z přirozených čísel, pokud je prvek na pozici $n$ menší nebo roven než prvek na pozici $n+1$, je posloupnost nerostoucí.
Neklesající	$\forall{n}\in\mathbb{N} : a_n \ge a_{n+1}$	Pro každé $n$ z přirozených čísel, pokud je prvek na pozici $n$ větší nebo roven než prvek na pozici $n+1$, je posloupnost neklesající.

Posloupnost nazýváme ryze monotónní, pokud je buďto pouze rostoucí nebo pouze klesající.

Nevlastní limita posloupnosti

Nevlastní limita posloupnosti se vyskytuje u neomezených posloupností, kde vždy existuje prvek větší než libovolné zvolené číslo.

Definice nevlastní limity posloupnosti: Pokud ke každému libovolnému číslu existují prvky nekonečné posloupnosti, které jsou větší než naše libovolné číslo, tak má posloupnost nevlastní limitu v $\infty$.

Pokud pro libovolné číslo $A$ existují prvky, které jsou menší než libovolné číslo, tak má posloupnost nevlastní limitu v $-\infty$.

$\large\forall{A}\in\mathbb{R}: \exists{n_0}\in\mathbb{N}, a_n > A \implies \text{Nevlastní limita v }+\infty$ $\large\forall{A}\in\mathbb{R}: \exists{n_0}\in\mathbb{N}, a_n < A \implies \text{Nevlastní limita v }-\infty$

Věta o sevření

Věta o sevření (Věta o dvou strážcích, o dvou policajtech, v angličtině squeeze theorem) je věta, která nám dovoluje zjistit limitu sevřené posloupnosti.

Definice věty o sevření: Mějme tři posloupnosti: - $\Large\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ - $\Large\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ - $\Large\{c_n\}_{n=1}^{\infty}$

Ve kterých pro všechna $n$ platí, že $a_n \le b_n \le c_n$. Poté můžeme říct, že - Když $\{a_n\}$ konverguje k nějaké limitě $L$ - a $\{c_n\}$ také konverguje k limitě $L$ - $\implies \{b_n\}$ musí také konvergovat k limitě $L$.

![[Pasted image 20220201121715.png]]

Limita posloupnosti

Posloupnost $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ má (vlastní) limitu v bodě $a$, pokud pro libovolně velké [[Okolí bodu|okolí]] platí, že rozdíl prvku a limity je menší než okolí.

Definice vlastní limity posloupnosti: Posloupnost má vlastní limitu v oboru reýlných čísel, jestliže pro každé [[Okolí bodu|okolí]] epsilon existuje pořadové číslo (index) $n_0$, od kterého každy prvek s vyšším pořadovým číslem spadá do prostoru ohraničeného okolím epsilon.

![[Pasted image 20211210135426.png]]

Jednoznačnost limity posloupnosti: Každá posloupnost může mít nejvýše jednu limitu.

Konvergence a divergence

Konvergence Pokud posloupnost má vlastní limitu, tak se body sbíhají k sobě. V tomto případě říkáme, že posloupnost konverguje (k bodu limity).

\[\Large\lim_{n\to\infty} a_n = a\]

Divergence Pokud posloupnost nemá vlastní limitu, tak říkáme, že posloupnost diverguje.

Kdy limita neexistuje

Limita posloupnosti neexistuje v případě, kdy najdeme dvě [[Vybraná posloupnost|vybrané posloupnosti]], které obě mají různé limity.

Příklady

Hledejte limitu posloupnosti $\Large\{\frac{1}{n}\}_{n=1}^\infty$. Výsledek dokažte pomocí definice limity.

Když za $\Large\frac{1}{n}$ budeme dosazovat větší a větší číslo, tak bude vznikat menší a menší číslo, tudíž se bude zlomek víc a víc blížit k nule.

Pro libovolné $\large\varepsilon \gt 0$ platí, že $\large|a_n - a| \lt \varepsilon$. $$\large\begin{aligned} |a_n - a| &\lt \varepsilon \\ |\frac{1}{n} - 0| &\lt \varepsilon \\ |\frac{1}{n}| &\lt \varepsilon \end{aligned}$$ Protože $\varepsilon$ bylo libovolné číslo větší než nula, tak $\Large\frac{1}{n}$ musí být menší nebo rovno nule. Vzhledem k tomu, že je zlomek v absolutní hodnotě, tak jediné vyhovující číslo je 0.

Uveďtě výsledek limity $\large\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{x}}$ pro $x \ge 0$.

\[\large \lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{x}} = \lim_{n\to\infty}{x^{\frac{1}{n}}} = x^{\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}}} = x^0 = 1 \]

Vybraná posloupnost

Vybranou posloupností rozumíme takovou posloupnost, které vznikne tím, že z nějaké jiné posloupnosti vyškrtáme (ne)konečně mnoho členů.

Definice vybrané posloupnosti: Mějme - posloupnost $\large\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ - a [[Monotónnost posloupnosti|rostoucí posloupnost]] přirozených čísel $\large\{k_n\}_{n=1}^{\infty}$

Poté posloupnost $\large\{a_{k_n}\}_{n=1}^{\infty}$ nazýváme vybranou posloupností z původní posloupnosti.

[[Posloupnosti#Značení|Co znamená to značení se složenými závorkami?]]

[[Nutná podmínka]] konvergence je věta, která nám říká, zda může řada konvergovat.

[!quote] Nutná podmínka konvergence řady: Řada $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ může konvergovat jen a pouze tehdy, když je $\lim_{n\to\infty}a_n = 0$

[!question] Co říká nutná podmínka konvergence řady? Nutná podmínka konvergence řady říká, že pokud se prvky řady postupně blíží k nule, tak musí konvergovat.

Tento dokument se snaží shrnout postup, jakým lze vyšetřovat konvergenci řady.

Ověření nutné podmínky konvergence řady.

Jako první by se měla ověřit [[Nutná podmínka konvergence]], která nám dá vodítko k tomu, zda má vůbec smysl řadu vyšetřovat.

[!quote] [[Nutná podmínka|Nutná podmínka]] konvergence řady: Řada $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ může konvergovat jen a pouze, když je $\lim_{n\to\infty}a_n = 0$

Pokud limita výjde nula, můžeme pokračovat s vyšetřováním. Pokud výjde jinak, píšeme, že je řada divergentní a máme hotovo.

Použití kritérií konvergence

Jestliže už víme, že řada může konvergovat, je na čase použít kritéria konvergence. Nejčastěji se asi používají [[Odmocninové kritérium#Limitní odmocninové kritérium|limitní odmocninové kritérium]] a [[Podílové kritérium#Limitní podílové kritérium|limitní podílové kritérium]]. Samozřejmě se hodí znát i další kritéria, jako je např. [[Integrální kritérium]] či [[Srovnávací kritérium]].

Vyšetření oboru konvergence

Některé řady mohu být zadány s parametrem (např. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x-2}{n}$). Poté je potřeba vyšetřit, s jakými hodnotami parametru daná řada konverguje.

Máme-li nějakou mocninnou řadu, např. výše zmíněnou $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x-2}{n}$, postupujeme následovně: 1) Vypočítáme střed oboru konvergence, neboli $x-2 = 0 \implies x = 2$. 2) Vypočítáme poloměr konvergence 1) Buďto pomocí "převráceného odmocninového kritéria" $(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n})^{-1}$ 2) nebo pomocí "převráceného podílového kritéria" $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|$

Odmocninové (neboli Cauchyho) kritérium je jedno z kritérií konvergence řady s nezápornými členy.

[!quote] Řada $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ je řada s nezápornými členy. Pokud existují - číslo $q < 1$ - přirozené číslo $k$ ^{(Jedná se o takovou "spodní mez", pozn. red.)}

Tak, že - pro každé $n \ge k$ je $\sqrt[n]{a_n}\large<q$, pak je řada konvergentní, - jinak je divergentní.

Limitní odmocninové kritérium

[!example] Řada $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ je řada s nezápornými členy. Je-li

[!done] $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \large\lt 1$, pak je řada konvergentní.

[!fail] $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \large\gt 1$, pak je řada divergentní.

[!question] $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \large= 1$, pak nelze tímto kritériem rozhodnout.

Podílové kritérium je jedno z kritérií konvergence řady s kladnými členy.

[!example] Řada $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ je řada s kladnými členy. Pokud existují - číslo $q < 1$ - přirozené číslo $k$ ^{(Jedná se o takovou "spodní mez", pozn. red.)}

Tak, že - pro každé $n \ge k$ je $\Large\frac{a_{n+1}}{a_n}\large<q$, pak je řada konvergentní, - jinak je divergentní.

Limitní podílové kritérium

[!example] Řada $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ je řada s kladnými členy. Je-li

[!done] $\lim_{n\to\infty}\Large\frac{a_{n+1}}{a_n} \large\lt 1$, pak je řada konvergentní.

[!fail] $\lim_{n\to\infty}\Large\frac{a_{n+1}}{a_n} \large\gt 1$, pak je řada divergentní.

[!question] $\lim_{n\to\infty}\Large\frac{a_{n+1}}{a_n} \large= 1$, pak nelze tímto kritériem rozhodnout.

Kroneckerova delta

Kroneckorova delta je funkce, jejíž výsledek se - rovná 1, pokud se dvě proměnné rovnají, - a 0, pokud se nerovnají.

\[\Large \delta_{ij} = \begin{cases} 1 \impliedby i = j \\ 0 \impliedby i \not= j \end{cases}\]

Efektivně tak jde zapsat jednotková matice.

Lineární zobrazení na prostoru číselných posloupností

Konečná množina $M \subset \mathbb{N}$, posloupnosti $(a_i)_{i>0}$ přiřadíme $k$-tici ($a_{n1}, a_{n2}, ..., a_{nk}$)

Monotónie	Zápis	Vysvětlení
Rostoucí	\(\forall{n}\in\mathbb{N} : a_n < a_{n+1}\)	Pro každé \(n\) z přirozených čísel, pokud je prvek na pozici \(n\) menší než prvek na pozici \(n+1\), je posloupnost rostoucí.
Klesající	\(\forall{n}\in\mathbb{N} : a_n > a_{n+1}\)	Pro každé \(n\) z přirozených čísel, pokud je prvek na pozici \(n\) větší než prvek na pozici \(n+1\), je posloupnost klesající.
Nerostoucí	\(\forall{n}\in\mathbb{N} : a_n \le a_{n+1}\)	Pro každé \(n\) z přirozených čísel, pokud je prvek na pozici \(n\) menší nebo roven než prvek na pozici \(n+1\), je posloupnost nerostoucí.
Neklesající	\(\forall{n}\in\mathbb{N} : a_n \ge a_{n+1}\)	Pro každé \(n\) z přirozených čísel, pokud je prvek na pozici \(n\) větší nebo roven než prvek na pozici \(n+1\), je posloupnost neklesající.