Příklad 1.2

Určete obor konvergence řady \(\Large\sum_{n=1}^{\infty}(x-9)^n3^{(2-2n)}n\)

Střed konvergence: \(\large x-9=0 \implies x=9\)

Nalezení poloměru konvergence - použití převráceného odmocninového kritéria: $$\large\begin{aligned}

r &= \left(\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{3^{(2-2n)}n}\right)^{-1}

\&= \left(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^{2}}\cdot\sqrt[n]{3^{-2n}}\cdot \sqrt[n]{n}\right)^{-1}

\&=\left(\lim_{n\to\infty}1\cdot\frac{1}{\sqrt[n]{3^{2n}}}\cdot 1\right)^{-1}

\&=\left(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{9}\right)^{-1}

\&=\left(\frac{1}{9}\right)^{-1}

\&= 9 \end{aligned}$$ Z toho vyplývá \(\large x\in\left(0,9\right)\)

Vyšetření v krajních bodech:

\(\large x=0: \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[n]{-9^n\cdot3^{(2-2n)}n}\)

Použití odmocninového kritéria: $$\large \begin{aligned}

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(-9)^{n}3^{2-2n}}

&= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(-9)^{n}}\cdot\sqrt[n]{3^{2-2n}}\cdot\sqrt[n]{n}

\&=-\lim_{n\to\infty}9\cdot{1}\cdot\sqrt[n]{3^{2}}\cdot\sqrt[n]{3^{-2n}}\cdot 1

\&=-\lim_{n\to\infty}9\cdot{1}\cdot1\cdot\frac{1}{9}\cdot 1

\&=-\lim_{n\to\infty}9

\&=-9

\-9 &\lt1 \implies \text{Patří do intervalu konvergence} \end{aligned} $$ Výsledný interval konvergence: \(\large x \in \left<0,4\right)\)