Příklad 4.50

[!example] Spočtěte obsah obrazce ohraničeného funkcemi \(x\cdot\sin{x}\) a \(x\cdot(x-\pi)\)

[!info] $\(\begin{aligned} f(x) &= x\cdot\sin{x} \\ g(x) &= x\cdot(x-\pi) \end{aligned}\)$

[!info] Vypočítání [[Integrační meze]] - Obě funkce se budou rovnat v nule, protože budeme v obou násobit nulou. - Když pak vynecháme vnější \(x\) a podíváme, kdy se funkce znovu rovnají nule, tak pro - \(\sin(x) = 0\) pro \(x=k\pi\) - \(x-\pi = 0\) pro \(x = \pi\) - Můžeme tedy zvolit interval \(\left<0, \pi\right>\) $$ \begin{aligned} &= \int_{0}^{\pi} f(x) - g(x)\;dx \ &= \int_{0}^{\pi} x\cdot\sin{x}\;dx - \int_{0}^{\pi}x\cdot(x-\pi)\;dx \ &= \int_{0}^{\pi} x\cdot\sin{x}\;dx - \int_{0}^{\pi}x^2\;dx+\int_{0}^{\pi}x\pi\;dx \ \end{aligned} $$

[!tip]+ Aplikace [[Per Partes#Metoda DI|DI metody]] Sestavíme si DI tabulku:

D I
+ \(x\) \(\sin{x}\)
- \(1\) \(-\cos{x}\)
+ 0 \(-\sin{x}\)
Zapíšeme výsledek: \(x\cdot(-\cos{x})-1\cdot(-\sin{x}) = -x\cdot\cos{x}+\sin{x}\)
\[ \begin{aligned} &= \int_{0}^{\pi} x\cdot\sin{x}\;dx - \int_{0}^{\pi}x^2\;dx+\int_{0}^{\pi}x\pi\;dx \\ &= \left[-x\cdot\cos{x}+\sin{x}\right]_{0}^{\pi}- \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{\pi} +\pi\cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{\pi} \\ &= \left[-\pi\cdot\cos{\pi}+\sin{\pi} - 0\cdot\cos(0)+\sin(0)\right] - \left[\frac{\pi^3}{3} - \frac{0}{3}\right] + \pi\cdot\left[\frac{\pi^2}{2} - \frac{0}{2}\right] \\ &= \left[-\pi\cdot{-1}+0 - 0\cdot1+0\right] - \frac{\pi^3}{3} + \pi\cdot\frac{\pi^2}{2} \\ &= \pi- \frac{\pi^3}{3} + \frac{\pi^3}{2} \\ &= \pi - \frac{2\pi^3}{6} + \frac{3\pi^3}{6} \\ &= \boxed{\pi + \frac{\pi^3}{6}} \end{aligned} \]