Příklad 2.15

Spočtěte \(\Large\lim_{x\to3}\frac{x^2-4x+3}{(9-x^2)^2}\)

$$\Large \begin{aligned}

&\lim_{x\to3}\frac{x^2-4x+3}{(9-x^2)^2} \

=& \lim_{x\to3}\frac{12-12}{0^2} \

=& \frac{0}{0} \

\\ &\text{It's L'Hospital Time:} \\

=& \lim_{x\to3}\frac{2x-4}{2(9-x^2)(-2x)} \

=& \lim_{x\to3}\frac{2x-4}{2(9-x^2)(-2x)} \

=& \lim_{x\to3}\frac{2x-4}{-4x(9-x^2)} \

=& \lim_{x\to3}\frac{6-4}{-12\cdot(0)} \

=& \frac{2}{0} \

\end{aligned} $$

Limity zleva a zprava

$$\Large \begin{aligned}

&\lim_{x\to3}\frac{x^2-4x+3}{(9-x^2)^2} \

=& \lim_{x\to3}\frac{2x-4}{-4x(9-x^2)} \

\\

=& \lim_{x\to3^+}\frac{2x-4}{-4x(9-x^2)} \

=& \lim_{x\to3^+}\frac{\text{\normalsize Vychází kladně}}{\text{\normalsize Vychází záporně} \cdot (\text{\normalsize Vychází záporně})} \

=& \lim_{x\to3^+}\frac{\text{\normalsize Vychází kladně}}{\text{\normalsize Vychází kladně}} \

=& \lim_{x\to3^+}{\text{\normalsize Vychází kladně}} \

\\

=& \lim_{x\to3^-}\frac{2x-4}{-4x(9-x^2)} \

=& \lim_{x\to3^+}\frac{\text{\normalsize Vychází kladně}}{\text{\normalsize Vychází záporně} \cdot (\text{\normalsize Vychází kladně})} \

=& \lim_{x\to3^+}\frac{\text{\normalsize Vychází kladně}}{\text{\normalsize Vychází záporně}} \

=& \lim_{x\to3^+}{\text{\normalsize Vychází záporně}} \

\end{aligned} $$

Limita zprava letí k \(-\infty\), zatímco limita zprava k \(+\infty\), limita tudíž neexistuje, protože se limita zleva nerovná limitě zprava.