Skip to content

Dělitelnost

Právě případ dělení, který výsledek operace přenáší za hranice celých čísel, je to, co se nám vyplatí zkoumat a hledat, jak můžeme poznatky z této operace dále využít.

Definice dělitelnosti

Uvažujme čísla \(a\) a \(b\), kde \(a\) je libovolné celé číslo a \(b\) je libovolné nenulové celé číslo. Poté řekneme, že \(b\) dělí \(a\), což značíme jako (\(b|a\)), jestliže existuje číslo \(q\) tak, aby platilo \(\exists q \in \mathbb{Z}: a = b \cdot q\).

  • Číslo \(a\) se nazývá násobek čísla \(b\)
  • Číslo \(b\) se nazývá dělitelem čísla \(a\)
  • Číslo \(q\) se nazývá podílem čísel \(a\) a \(b\)

Ve své podstatě to znamená, že když číslo \(a\) vydělíme číslem \(b\), tak dostaneme celé číslo \(q\), které není nějakým šíleným zlomkem či iracionálním číslem.

Dělitelé mohou být vlastní či nevlastní. Nevlastní dělitelé jsou taková čísla, která dělí "všechna" čísla - jedná se tak o dva případy:

  • Dělení jedničkou \(\pm 1\)
  • a dělení dělitelem samotným \(\pm a\).

Všechny ostatní dělitelé nazýváme vlastní.

Vždy budeme uvažovat pouze kladné dělitele

Vlastnosti dělitelnosti

  1. Každé celé číslo lze vydělit jedničkou.
    • \(\forall a \in \mathbb{Z}: 1 | a\).
  2. Každé celé číslo, kromě nuly, může dělit nulu.
    • \(\forall a \in \mathbb{Z} - \{0\}: a | 0\).
  3. Každé celé nenulové číslo je dělitelné samo sebou.
    • \(\forall a \in \mathbb{Z} - \{0\}: a | a\).
  4. Pokud nezáleží na pořadí při dělení dvou celých nenulových čísel, pak musí mít tato čísla stejnou hodnotu (velikost).
    • \(\forall a, b \in \mathbb{Z} - \{0\}: (b | a) \wedge (a | b) \implies |a| = |b|\)
  5. Pokud máme tři celá čísla a platí, že třetí číslo je dělitelné druhým, a druhé je dělitelné prvním, pak z toho vyplývá, že třetí číslo musí být také dělitelné prvním. Tento princip nazýváme tranzitivita.
    • \(\forall a, b, c \in \mathbb{Z}: (c | b) \wedge (b | a) \implies (c | a)\).
  6. Pokud má celé číslo vlastního dělitele, tak je dělitelné i jeho násobky.
    • \(\forall a, b, c \in \mathbb{Z}: (b | a) \implies (b | (a\cdot c))\).
  7. Pokud máme tři celá čísla, jejichž součet dává určitý výsledek, a nějaké číslo dělí jak první číslo, tak i ten výsledek, pak to stejné číslo musí dělit i druhé číslo.
    • \(\forall a, b, c \in \mathbb{Z} \wedge (a + b = c): (d | a) \wedge (d | c) \implies (d | b)\).

Dělení se zbytkem

Dělení se zbytkem je jednoduchý, ale mocný nástroj, který využíváme nejen v matematických úlohách, ale i v běžném životě. Když rozdělujeme věci na části a nemůžeme je dokonale rozdělit, zůstává určitý "zbytek", který představuje nedokonalost dělení. Tento koncept však není jen praktickým nástrojem pro rozdělování, ale má mnohem širší využití. V informatice je klíčový například při šifrování, práci s daty nebo při návrhu algoritmů, kde zbytek po dělení umožňuje optimalizaci výpočtů nebo vytváření bezpečnostích šifer. V praktickém životě ho používáme například pro plánování času či rozdělování omezeného počtu zdrojů.

Definice dělení se zbytkem

Nechť \(a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}^+\). Potom existuje \(q, r \in \mathbb{Z}\), kde \(0 \le r \le b\).

  • Číslo \(a\) je dělenec
  • Číslo \(b\) je dělitel
  • Číslo \(q\) je neúplný podíl
  • Číslo \(r\) je zbytek