Příklad 1.1

[!example] Najděte inverzní funkci k funkci $f(x)$ a určete definiční obory a obory hodnot tak, aby na těchto oborech byly tyto funkce navzájem inverzní. $$\large f(x) = \frac{2-\text{arccotg}(x-1)}{5}$$

Hledání inverzní funkce

$$\large\begin{aligned}

f(x): y &= \frac{2-\text{arccotg}(x-1)}{2} \ f^{-1}(x): x &= \frac{2-\text{arccotg}(y-1)}{2} \

\\

x &= \frac{2-\text{arccotg}(y-1)}{2} && /\cdot 2\ 2x &= 2-\text{arccotg}(y-1) && /-2\ 2x-2 &= -\text{arccotg}(y-1) && /\cdot(-1)\ -2x+2 &= \text{arccotg}(y-1) && /\cot(x)\ \text{cotg}(-2x+2) &= y-1 &&/+1 \ y &= \boxed{\text{cotg}(-2x+2) + 1}

\end{aligned}$$

Určení oborů

Interval prostosti funkce $\text{cotg}(x)$ je $\left(0\pi,1\pi\right)$.

\[\large D(f) = H(f^{-1}) = \mathbb{R}$$ $$\large D(f^{-1}) = H(f) = \left(\frac{2-\pi}{2}, 1\right)\]

$$\large\begin{aligned} 0\pi &< -2x+2 &< \pi \ - 2 &< -2x &< \pi - 2 \ \frac{-2}{2} &< -x &< \frac{\pi - 2}{2} \ \frac{-2}{2} &> x &> -\frac{\pi - 2}{2} \ 1 &> x &> \frac{2-\pi}{2} \

\\

x &\in \boxed{\left(\frac{2-\pi}{2}, 1\right)} \end{aligned}$$