Důkazy
Důkazy slouží k ověření pravdivosti [[Výroky|výroků]]. Pravdivost se ověřuje pomocí [[Axióm|axiómů]], definic a již dříve dokázaných vět.
Druhy důkazů
Důkaz pravdivosti výroku můžeme provést několika způsoby, vždy se ale jedná o logický proces, který spoléhá na dodržování logických zákonitostí (např. pravdivostních tabulek [[Logické funkce|logických funkcí]]).
Přímý důkaz
Používá se k dokazování implikace tím, že se výrok rozloží na řetězec menších pravdivých implikací.
[!example] Proces přímého důkazu $\(\Large\begin{cases} p &\implies q &\large\text{Původní výrok}\\ p_1&\implies p_2 &\large\text{První krok}\\ p_2&\implies p_3 &\large\text{Druhý krok}\\ p_3&\implies p_4 &\large\text{Třetí krok}\\ ...\\ p_n&\implies q &\large\text{Poslední krok}\\ \end{cases}\)$
Nepřímý důkaz
Používá se k dokazování implikace tím, že se dokáže, že platí negovaná implikace
[!example] Proces nepřímého důkazu $\(\Large\begin{cases} p &\implies q &\large\text{Tvrzení}\\ \neg{q} &\implies \neg{p} &\large\text{Nepřímý důkaz} \\ \end{cases}\)$
Asi by nebylo od věci připomenou, že \(p\implies q\) a \(\neg{q} \implies \neg{p}\) jsou ekvivalentní výroky.
Důkaz sporem
Důkaz je postaven na předpokladu, že negace výroku je pravdivá. Vezmeme negovaný výrok a sestavíme řetězec pravdivých implikací, ze kterých zjistíme, že negovaný výrok neplatí (dojdeme ke sporu). Když negace neplatí, tak musí platit původní výrok.