Nekonečně malé hodnoty
Nekonečně hodnoty (odborně Infinitezimální hodnoty) jsou hodnoty s malým písmenem \(d\) na začátku (např. \(dx\), \(dy\), \(dz\), ...), které označují "trochu něčeho", např. - trochu \(x\) - trochu \(y\) - trochu \(z\) - ...
V trochu formálnějším prostředí se říká, že to je - nekonečně malé \(x\) - nekonečně malé \(y\) - nekonečně malé \(z\) - ...
Jak malá je ale "nekonečně malá" hodnota? Záleží na kontextu. Představme si třeba hodiny - v porovnání s hodinami jsou minuty menší, ale sekundy ještě menší. A ještě menší jsou milisekundy, či mikrosekundy. Vždy záleží na úhlu pohledu, ze kterého pracujeme.
Vybraným hodnotám se pak konkrétněji v kontextu [[Úvod do derivací|derivací]] říká [[Diferenciál|diferenciál]].
Kdy lze nekonečně malé hodnoty zanedbat
Podle toho, k čemu se tyto nekonečně malé hodnoty vážou, lze rozhodnout, zda jsou zanedbatelné, a nebo zda mají nějaký efekt, se kterým je potřeba počítat.
| Příklad | Je zanedbatelná? |
|---|---|
| \(x\cdot{dx}\) | Ne |
| \(x^2\cdot{dx}\) | Ne |
| \(a^x\cdot{dx}\) | Ne |
| \(dx\cdot{dx}\) | Ano |
Ukažme to na příkladu - máme \(x\), které reprezentuje nějakou kvantitu, která může po malých částech růst. Jako funkci bychom to mohli zapsat ve tvaru \(x + dx\). Pokud bychom chtělo vytvořit čtverec, tak by rovnice vypadala takto
Když si rozebereme jednotlivé členy, tak - \(x^2\) je prostě kvadratický nárůst, nic nového. - V druhém členu k tomu přičteme dvakrát původní kvantitu a ještě trochu té původní kvantity - V třetím členu přičteme trošku z trocha původní kvantity.
Když se na to člověk podívá takhle, tak co tam udělá ten třetí člen? O jak moc změní trocha trošky? No o moc ne. To je tedy člen, který můžeme zanedbat.
TL,DR: Nekonečně malé hodnoty nás vždycky zajímají toho nejnižšího řádu (takže s nejnižším exponentem), protože ty dělají největší rozdíl ve výsledku