Skip to content

Algebraické těleso

[!tldr] - Tělesem nazýváme množinu uzavřenou na dvě binární operace - sčítání - a násobení - Každá operace má svůj neutrální prvek - \(a+0=a\) - \(a\cdot 1= a\) - Každá operace je komutativní a asociativní - Násobení je distributivní vůči sčítání - Každý prvek tělesa má jednoznačně určený opačný prvek.

Algebraické těselo \(T\) je - libovolná [[Množiny|množina]] - a dvě binární operace

Množina může být skutečně libovolná. Jedinou podmínkou je, že nesmí být prázdná (\(T\not= \emptyset\)). Prvkům tělesa (množiny) se říkají, nečekaně, prvky tělesa. Jedná se o jakési zobecnění [[Číselné množiny|číselných množin]].

Binární operace

Binární operací se myslí proces, který ze dvou vstupů udělá jeden výstup. - Výsledek operace je stejného typu jako vstupy - Výsledek je stále součástí naší libovolné množiny

Dvě operace v algebraickém tělese jsou: - (Vektorové) sčítání - (Vektorové) násobení - Tyto operace se dají v případě potřeby redefinovat - Vektorem může být číslo, rovnice, funkce, matice, ... - Operace s těmito objekty né vždy fungují jako sčítání a násobení čísel. - Pro oddělení s číselným sčítáním a násobením se jim říká vektorový součet a vektorový součin

Je tedy potřeba tyto operace zobecnit natolik, že je budeme moci použít "na všechny prvky tělesa".

Když mluvíme o těchto binárních operacích, říkáme, že provádíme operace nad tělesem (Např. operace nad tělesem \(T\)). - Říká nám to, v jakém tělese operace probíhají - a s jakým typem matematického objektu pracují

flowchart TB

subgraph Operace
    PLUS[Sčítání]
end

subgraph Těleso
    0[Prvek]
    1[Prvek 2]
    2[Prvek 3]
    3[Prvek 4]
end

0 --> PLUS --> 2
1 --> PLUS

Axiómy tělesa

Ačkoliv si můžeme podle potřeby redefinovat sčítání a násobení, je potřeba zajistit, aby platila určitá pravidla - axiómy tělesa

Tyto pravidla totiž zajištují, že operace budou definované pro všechny prvky tělesa[^1] a že se budou chovat podobně, jako sčítání a násobení čísel.

Těchto pravidel existuje celkem deset:[^2]

  1. Komutativnost sčítání a násobení - Pro libovolné prvky \(a, b\) z tělesa \(T\) musí platit, že:
    1. \(a+b = b+a\)
    2. \(a\cdot b = b \cdot a\)
  2. Asociativita sčítání a násobení - Pro libovolné prvky \(a, b\) z tělesa \(T\) musí platit, že:
    1. \(a+(b+c) = (a+b)+c\)
    2. \(a\cdot (b\cdot c) =(a\cdot b) \cdot c\)
  3. Existuje nulový prvek - V tělese existuje prvek, který si označíme jako \(0\) , pro který platí, že:
    1. \(a+0=a\)
  4. Existuje opačný prvek - Pro libovolný prvek \(a\) musí existovat opačný prvek \(-a\), pro které platí, že:
    1. \(a + (-a) = 0\) (\(3 + (-3) = 0\))
    2. \(a \cdot (-a) = 1\) (\(3 \cdot \frac{1}{3}= 1\))
  5. Existuje jednotkový prvek - Existuje prvek, který si označíme jako \(1\), pro který platí, že:
    1. \(a\cdot 1=a\)
  6. Distributivnost - Pro libovolné tři prvky \(a, b, c\) musí platit, že:
    1. \(a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\)
  7. Netrivialita - Nulový prvek a jednotkový prvek nesmí být stejné
    1. \(0\not=1\)

Kam se ale podělo odčítání a dělení? - Odečítání se dělá přičítáním opačného prvku - \(5 - 2 = 5 + (-2)\) - Dělení se dělá násobením inverzního prvku - \(10/5 = 10\cdot 5^{-1}\)

[^1]: To znamená, že půjdou provést pro všechna čísla v naší libovolné množině. [^2]: Některé axiómy budou spojené dohromady, pokud platí jak pro násobení, tak i sčítání - např. komutativnost sčítání a komutativnost násobení jsou spojeny pod komutativnost sčítání a násobení .