Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercové matice jsou speciální čísla a nenulové vektory, které úzce souvisí s touto maticí a s lineárním zobrazením, které matice reprezentuje. Uvažujme čtvercovou matici \(A\) o velikosti \(n\times{n}\), poté existuje \(n\) vlastních čísel \(\lambda_{i}\) a \(n\) vlastních vektorů \(v_{i}\) pro které platí:

\[ A \cdot v_{i} = \lambda_{i} \cdot v_{i} \]

Vlastnosti vlastních čísel a vektorů:

Každá čtvercová matice má alespoň jedno vlastní číslo.
Nenulová čtvercová matice má tolik vlastních čísel, kolik je její řád.
Ke každému vlastnímu číslu λ existuje alespoň jeden nenulový vlastní vektor x.
Vlastní vektory příslušné k různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé.

Interpretace

Vlastní vektory určují směry, které se po transformaci neměnní.

Vlastní vektory nám ukazují preferované směry v daném systému, ať už se jedná o fyzikální systém, matematický model, nebo abstraktní datový soubor. Tyto směry odrážejí skrytou strukturu v datech a dávají nám náhled do toho, jak se systém chová v závislosti na vnějších vlivech nebo na změnách parametrů.
Vlastní čísla nám říkají, jak silný je vliv daného směru na celkové chování systému. Vlastní čísla s velkými absolutními hodnotami ukazují na směry s velkým vlivem, zatímco malá vlastní čísla indikují směry s menším vlivem.

Představte si soubor dat o chování spotřebitelů. Vlastní vektory by v tomto případě odpovídaly směrům největší variability v chování spotřebitelů. Vlastní čísla by pak odpovídala síle variability v daných směrech. To by nám mohlo napovědět, jaké faktory nejvíce ovlivňují chování spotřebitelů a jakým způsobem.

Výpočet vlastních čísel a vektorů

Analytický výpočet

Tuto sekci je nutné podrobněji rozepsat. Co je to charakteristický polynom a proč jsou jeho kořeny vlastní čísla? Proč je lambda násobena jednotkovu maticí E?

Vlastní čísla a vektory se analyticky počítají pomocí charakteristického polynomu matice. Jeho kořeny jsou právě vlastní čísla matice.

\[ A - \lambda \cdot E = A - \lambda \cdot \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix} = A - \begin{bmatrix}\lambda & 0 & 0\\0 & \lambda & 0\\0 & 0 & \lambda\end{bmatrix} \]

\[\begin{aligned} Av &= \lambda v \\ Av - \lambda v &= 0 \\ (A - \lambda{E}) v &= 0 \end{aligned}\]

Proč determinant?

Aby měla rovnice nenulové řešení, musí být determinant matice nulový. Řešíme tedy rovnici

\[\begin{aligned} \det(A - \lambda{E}) &= 0 \end{aligned}\]

Řešením této rovnice jsou vlastní čísla matice A. Vlastní vektory se poté spočítají dosazením konkrétního vlastního čísla \(\lambda\) do rovnice \(A - \lambda E\), konkrétně

\[\begin{aligned} A - \begin{bmatrix}\lambda & 0 & 0\\0 & \lambda & 0\\0 & 0 & \lambda\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{bmatrix}&= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \end{aligned}\]

Numerický výpočet

Dopsat mocninnou metodu

Použití

Vlastní čísla a vektory se používá v algoritmu PCA (Principal Component Analysis).