Vektorová algebra
Příklady
Úloha 2.6
Úloha 2.7
Jsou dány souřadnice bodů \(A\), \(B\), \(C\), \(R\) a \(Z\).
- Varianta A: \(A[0,1], B[6,3], C[4,5], R[2,r_2], Z[7,z_2]\)
- Varianta B: \(A[1,2,3], B[3,3,6], C[0,1,2], R[0,r_2,r_3], Z[-2,z_2,z_3]\)
a) Určete souřadnice vektorů \(u = AB\) a \(v = AC\) a jejich velikost.
Varianta A
\[\begin{align}
\vec{u} &= AB\\
&= (B_x - A_x, B_y - A_y)\\
&= (6 - 0, 3 - 1)\\
&= \boxed{(6, 2)}\\
\\
\vec{v} &= AC\\
&= (C_x - A_x, C_y - A_y)\\
&= (4 - 0, 5 - 1)\\
&= \boxed{(4, 4)} \\
\\
|\vec{u}| &= \sqrt{(u_1)^2 + (u_2)^2}\\
&= \sqrt{(6)^2 + (2)^2}\\
&= \sqrt{40}\\
&= \sqrt{4 \cdot 10}\\
&= \sqrt{4} \cdot \sqrt{10}\\
&= \boxed{2\cdot\sqrt{10}} \\
\\
|\vec{v}| &= \sqrt{(v_1)^2 + (v_2)^2}\\
&= \sqrt{(4)^2 + (4)^2}\\
&= \sqrt{32}\\
&= \sqrt{16 \cdot 2} \\
&= \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} \\
&= \boxed{4\cdot\sqrt{2}}
\end{align}\]
Úpravy mocnic u výpočtu velikosti
Pokud nechápeš úpravy, které jsem dělal s odmocninami, aneb proč se \(\sqrt{40}\) rovná \(2\cdot\sqrt{10}\) nebo proč \(\sqrt{32}\) je \(4\cdot\sqrt{2}\), přečti si kapitolu o částečném odmocňování.
Varianta B
\[\begin{align}
\vec{u} &= AB \\
&= (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z) \\
&= (3 - 1, 3 - 2, 6 - 3) \\
&= \boxed{(2, 1, 3)}\\
\\
\vec{v} &= AC \\
&= (C_x - A_x, C_y - A_y, C_z - A_z) \\
&= (0 - 1, 1 - 2, 2 - 3) \\
&= \boxed{(-1, -1, -1)} \\
\\
|\vec{u}| &= \sqrt{(u_1)^2 + (u_2)^2 + (u_3)^2} \\
&= \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (3)^2}\\
&= \sqrt{4 + 1 + 9}\\
&= \boxed{\sqrt{14}}\\
\\
|\vec{v}| &= \sqrt{(v_1)^2 + (v_2)^2 + (v_3)^2} \\
&= \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2}\\
&= \sqrt{1 + 1 + 1}\\
&= \boxed{\sqrt{3}}\\
\\
\end{align}\]
b) Určete souřadnice bodu \(X\), pro který platí \(AX = v - \frac{1}{2}u\).
Varianta A
\[\begin{align}
AX &= \vec{v} - \frac{1}{2}\vec{u}\\
AX &= (4, 4) - (3, 1) \\
AX &= (1, 3)\\
\\
X &= A + AX \\
X &= [0, 1] + (1, 3)\\
X &= \boxed{[1, 4]}
\end{align}\]
Proč tam mám kulaté i hranaté závorky?
Hranaté závorky se běžně používají k označení bodu, zatímco kulaté k označení vektoru. Principielně je to ovšem jedno a to samé, jenom u bodu uvažujeme, že to je vektor, který má začátek v nule.
Varianta B
\[\begin{align}
AX &= \vec{v} - \frac{1}{2}\vec{u}\\
AX &= (-1, -1, -1) - \frac{1}{2}(2, 1, 3) \\
AX &= (-1, -1, -1) - \left(1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\\
AX &= \left(-2, \frac{-3}{2}, \frac{-5}{2}\right)\\
\\
X &= A + AX \\
X &= [1,2,3] + \left(-2, \frac{-3}{2}, \frac{-5}{2}\right)\\
X &= \left[1,\frac{4}{2},\frac{6}{2}\right] + \left(-2, \frac{-3}{2}, \frac{-5}{2}\right)\\
X &= \left[1 - 2, \frac{4 - 3}{2}, \frac{6 - 5}{2}\right]\\
X &= \boxed{\left[-1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]} \\
\end{align}\]
c) Určete souřadnice středu úsečky \(AB\).
V této úloze je myšlenka taková, že známe vektor \(\vec{AB}\), který je stejně velký jako úsečka \(AB\). Pokud tedy hledáme střed, který leží přesně v polovině úsečky, stačí nám vzít polovinu vektoru \(\vec{AB}\) a posunout jeden z bodů správným směrem. Vzhledem k tomu, že vektor \(\vec{AB}\) začíná v bodě A a končí v bodě \(B\), tak při hledání středu začneme také v bodě \(A\), akorát se neposuneme o celý vektor, ale jenom o jeho polovinu.
Note
Šlo by to i naopak, mohli bychom začít v bodě \(B\), ovšem v ten moment bychom museli jít nadruhou stranu, tzn. že buďto použít vektor \(\vec{BA}\), nebo obrátit vektor \(\vec{AB}\), což uděláme tak, že před něj dáme mínus (\(-\vec{AB} = \vec{BA}\)).
Varianta A
\[\begin{align}
S_{AB} &= A + \frac{1}{2}\vec{AB}\\
S_{AB} &= [0, 1] + \frac{1}{2}(6, 2) \\
S_{AB} &= [0, 1] + (3, 1) \\
S_{AB} &= \boxed{[3, 2]}
\end{align}\]
Varianta B
\[\begin{align}
S_{AB} &= A + \frac{1}{2}\vec{AB}\\
S_{AB} &= [1,2,3] + \frac{1}{2}(2, 1, 3) \\
S_{AB} &= [1,2,3] + \left(1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right) \\
S_{AB} &= \boxed{\left[2, \frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right]}
\end{align}\]
d) Ověřte, že body \(A, B, C\) jsou vrcholy trojúhelníku.
Pořádně si přečti zadání!
Zde je důležitý fakt, že po nás chtějí ověřit, jestli vrcholy tvoří trojúhelník. To, že ověřujeme jenom vrcholy, nám razantně snižuje obtížnost výpočtu, protože kdyby se ptali na strany, resp. vektory, tak musíme řešit trojúhelníkovou nerovnost.
Jak poznáme, jestli vrcholy tvoří trojúhelník? Stačí se podívat, jestli alespoň jeden z bodů není na stejné přímce, jako ty dva ostatní - potřebujeme se totiž vyvarovat situaci, kdy všechny tři body leží na jedné přímce a tím pádem se tam žádný trojúhelník nekoná.
Varianta A
Varianta B
e) Určete chybějící souřadnice bodu \(R\) tak, aby \(R \in \leftrightarrow AB\)
Tato úloha po nás chce, abychom doplnili druhou souřadnici bodu \(R\) tak, aby tento bod ležel na přímce \(AB\). K tomu můžeme použít parametrický předpis přímky.
Postup bude tedy následující:
- Sestavit parametrický předpis přímky AB pomocí vektoru \(\vec{AB}\) a bodu \(A\).
- Dosadit za neznámé \(x\) a \(y\) souřadnice bodu \(R\)
- Vyjádřit parametr \(t\) a dopočítat souřadnici \(r_2\)
Varianta A
\[\begin{align}
A &= [0, 1] \\
R &= [2, r_2] \\
R &\in \leftrightarrow AB\\
\vec{AB} &= (6, 2) \\
\\
x &= A_x + t \cdot \vec{AB}_1 \\
y &= A_y + t \cdot \vec{AB}_2 \\
\\
2 &= 0 + t \cdot 6 \\
r_2 &= 1 + t \cdot 2 \\
\\
2 &= 0 + t \cdot 6 \\
\frac{2}{6} &= t \\
\boxed{\frac{1}{3}} &= t \\
\\
r_2 &= 1 + \frac{1}{3} \cdot 2 \\
r_2 &= 1 + \frac{2}{3} \\
r_2 &= \boxed{\frac{5}{3}} \\
R &= \boxed{\left[2, \frac{5}{3}\right]}
\end{align}\]
Varianta B
\[\begin{align}
A &= [1, 2, 3] \\
R &= [0, r_2, r_3] \\
R &\in \leftrightarrow AB\\
\vec{AB} &= (2, 1, 3) \\
\\
x &= A_x + t \cdot \vec{AB}_1 \\
y &= A_y + t \cdot \vec{AB}_2 \\
z &= A_z + t \cdot \vec{AB}_3 \\
\\
0 &= 1 + t \cdot 2 \\
r_2 &= 2 + t \cdot 1 \\
r_3 &= 3 + t \cdot 3 \\
\\
0 &= 1 + t \cdot 2 \\
-1 &= 2t \\
\boxed{\frac{-1}{2}} &= t \\
\\
r_2 &= 2 + \frac{-1}{2} \cdot 1 \\
r_2 &= \frac{4}{2} + \frac{-1}{2}\\
r_2 &= \boxed{\frac{3}{2}}\\
\\
r_3 &= 3 + \frac{-1}{2} \cdot 3 \\
r_3 &= 3 + \frac{-3}{2}\\
r_3 &= \frac{6}{2} + \frac{-3}{2}\\
r_3 &= \boxed{\frac{3}{2}}\\
\\
R &= \boxed{\left[0, \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right]}
\end{align}\]
f) Určete souřadnice těžiště trojúhelníku ABC a délku jeho těžnice \(t_c\).
Tahle úloha bude trochu časově náročnější.
Postup řešení je následující:
- Najít středy stran trojúhelníku
g) Určete souřadnice bodu \(D\) tak, aby \(ABCD\) byl rovnoběžník.
h) Určete souřadnice bodu \(E\) tak, aby bod \(C\) byl středem úsečky \(BE\).
i) Určete chybějící souřadnice bodu \(Z\) tak, aby \(CZ || AB\).