Omezení množiny

Pokud má množina: - horní mez, nazývá se shora omezená. - dolní mez, nazývá se zdola omezená. - horní i dolní mez, nazývá se omezená.

Meze

Co je horní mez? Horní mezí označujeme číslo, které je větší nebo rovno všem prvkům množiny.

$\(\Large\begin{eqnarray} h &\in\mathbb{R}\\ \forall{x} &\in M\\ x &\le h \end{eqnarray}\)$ Číslo \(h\) z reálných čísel, pro který platí, že každé číslo \(x\) z množiny \(M\) je větší nebo rovno číslu \(h\), nazýváme horní mez množiny \(M\).

Co je dolní mez? Dolní mezí označujeme číslo, které je větší nebo rovno všem prvkům množiny.

$\(\Large\begin{eqnarray} d &\in\mathbb{R}\\ \forall{x} &\in M\\ x &\ge d \end{eqnarray}\)$ Číslo \(h\) z reálných čísel, pro který platí, že každé číslo \(x\) z množiny \(M\) je větší nebo rovno číslu \(h\), nazýváme horní mez množiny \(M\).

Supremum a infimum

Ze vztahu pro horní i dolní mez je vidět, že to jsou všechna čísla větší/menší než prvky množiny. Nás ale zajímají jenom takové meze, které bezprostředně omezují množinum, tj. které "stojí hned na kraji množiny". Z tohoto důvodu se zavedlo supremum a infimum.

Supremum = Nejmenší horní mez. Infimum = Největší horní mez.

Věta o supremu a infimu Pro každou [[Množiny#Druhy množin|neprázdnou množinu]] reálných čísel: - Shora omezenou existuje její supremum v \(\mathbb{R}\). - Zdola omezenou existuje její infimum v \(\mathbb{R}\). - Shora i zdola omezenou existuje jak její supremum, tak její infimum v \(\mathbb{R}\).

[[Číselné množiny#Reálná čísla|Co znamená to divné R?]]

Značení - Supremum množiny \(M\) se značí jako \(\sup M\). - Infimum množiny \(M\) se značí jako \(\inf M\).

Maximum a minimum

Pojmy maximum a minimum si asi každý dokáže představit. Jaký je ale rozdíl oproti [[#Supremum a infimum|supremu a infimu]]?

Rozdíl je v tom, jestli supremum a infimum patří nebo nepatří do zkoumané množiny. - Pokud supremum (\(\sup M\)) patří do množiny, nazýváme ho maximem množiny. - Pokud infimumum (\(\inf M\)) patří do množiny, nazýváme ho minimum množiny.

Z tohodle plyne, že maximum i minimum nemusí v množině existovat, ale supremum a infimum ano.