Operace s komplexními čísly

S komplexními čísly lze počítat jako s reálnými čísly - máme tedy definované operace jako sčítání a násobení, stejně tak i odečítání a dělení. - Je ale výhodné se zamyslet, který tvar na kterou operaci používat - V některých tvarech jsou totiž operace výrazně jednoduší

Pro umocnění a odmocnění komplexního čísla se používá [[Moivreova Věta]]

Operace v algebraickém tvaru

Sčítání a odčítání

Při sčítání komplexních čísel se sečtou zvlášť reálné a imaginární složky, obdobně to funguje u odčítání.

$$\begin{aligned} \bar{A} &= \color{red}{3} \color{lime}+ 4j \ \bar{B} &= \color{red}{1} \color{lime}- 2j \ \

\bar{A}+\bar{B} &= (\textcolor{red}{3} + >\textcolor{lime}{1}) + (\textcolor{red}{4} + \textcolor{lime}{(-2)})j \ &=4+2j \ \

\bar{A}-\bar{B} &= (\textcolor{red}{3} - \textcolor{lime}{1}) + (\textcolor{red}{4} - \textcolor{lime}{(-2)})j \ &=2+6j \ \end{aligned}$$

Násobení

Při násobení v algebraickém tvaru se roznásobí dvojčleny komplexního čísla:

\[\begin{aligned} \bar{A} \cdot \bar{B} &= (a_1+b_1j) \cdot (a_2+b_2j) \\ &= a_1\cdot a_2 + a_1 \cdot b_2j + b_1j \cdot a_2 + b_1j \cdot b_2j \\ &=(a_1 \cdot a_2 - b_1 \cdot{b_2}) + j\cdot{(a_1\cdot{b_2}+a_2\cdot{b_1})} \end{aligned}\]

Dělení

K dělení v [[Úvod a tvary komplexních čísel#Algebraický tvar|algebraickém tvaru]] se využívá rozšíření zlomku komplexně sdruženým číslem[^1]

Tento proces je společně s násobením v [[Úvod a tvary komplexních čísel#Algebraický tvar|algebraickém tvaru]] složitý a zdlouhavý, navíc se tam lehce vloudí aritmetická chyba. Mnohem výhodnější je tyto operace provádět v [[Úvod a tvary komplexních čísel#Exponenciální tvar|exponenciálním tvaru]]

Operace v exponenciálním tvaru

Násobení

Při násobení komplexních čísel v [[Úvod a tvary komplexních čísel#Exponenciální tvar|exponenciálním tvaru]] stačí vynásobit reálné části a sečíst úhly imaginární části.

\[\begin{aligned} \bar{A}\cdot{\bar{B}} &= (|A|\cdot{e^{j\cdot{\varphi_A}}}) \cdot (|B|\cdot{e^{j\cdot{\varphi_B}}}) \\ &= (|A|\cdot{|B|})\cdot e^{j\cdot({\varphi_A+{\varphi_B}})}\end{aligned}\]

Dělení

Při dělení se postupuje obdobně jako násobení s tím rozdílem, že: - Reálné složky se dělí - a úhly v exponentu se odečítají

\[\begin{aligned} \frac{\bar{A}}{\bar{B}} &= \frac{(|A|\cdot{e^{j\cdot{\varphi_A}}})} {(|B|\cdot{e^{j\cdot{\varphi_B}}})} \\ &= \frac{|A|}{|B|}\cdot e^{j\cdot({\varphi_A-{\varphi_B}})}\end{aligned}\]

[^1]:Komplexně sdružené číslo je takové číslo, jehož imaginární hodnota je opačná, tj. má opačné znaménko.