Skalární součin

Skalární součin je operace, která dvěma vektorům přiřazuje číslo.

[!tldr] - V komplexních prostorech je skalární součin pěkně na pytel

Skalární součin není nic jiného, než speciální [[Zobrazení|zobrazení]], které dvou [[Vektor|vektorům]] z nějakého [[Vektorové prostory|vektorového prostoru]] přiřadí číslo z [[Algebraické těleso|tělesa]], nad kterým je vektorový prostor definován.

$$\LARGE T: \left<u|v\right> = t \in T$$ Je-li definován vektorový prostor $U$ nad tělesem $T$ a je definováno zobrazení, které každé dvojici vektorů přiřadí číslo z tělesa $T$ skalárním součinem na prostoru $U$.

Vlastnosti skalárního součinu

Aby skalární součin existoval, musí platit následující podmínky:

Mějme vektory $\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}$ z prostoru nad [[Algebraické těleso|tělesem]] $T$ a číslo $\alpha$ z tělesa $T$. $$\LARGE \begin{aligned} \left<u|v \oplus w\right> &= \left<u|v\right> + \left<u|w\right> \\ \left<u|\alpha \otimes v\right> &= \alpha \cdot \left<u|v\right> \\ \left<u|v\right> &= \left<v|u\right> \\ \left<u|u\right> &\ge 0 \\ \left<u|u\right> &= 0 \iff u = 0 \end{aligned}$$

Musí být distributivní vůči sčítání
Musí být asociativní
Musí být komutativní
Skalární součin dvou stejných vektorů musí být větší než nula
1. Pokud není vektor nulovým vektorem. Pak je nula