Faktoriál

Faktoriál čísla $n$ je součin všech přirozených čísel menších než $n$

[!tldr] TL,DR: - Faktoriál čísla $n$ je součin přirozených čísel menších než $n$ - Výsledek se dá odhadnout pomocí stirlingova vzorce - $0! = 1$

Faktoriál je tedy v matematickém zápise definován jako

[!example] Zápis faktoriálu: $$\large n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n$$ $$\large n \in \mathbb{N}$$

[!tip] Rozložení faktoriálu: $$\large n! = (n-1)! \cdot n$$

Faktoriál nuly

Obecně platí pravidlo, že faktoriál nuly je jedna.

[!example] Faktoriál nuly $$\large 0! = 1$$

[!help] Proč tomu ale tak je? Jednoduché vysvětlení je pomocí praktického použití faktoriálů. Faktoriály se totiž používají pro výpočet [[Permutace|permutací]].

Nula věcí lze uspořádat pouze do jedné množiny - a to konkrétně do prázdné množiny.

Stirlingův vzorec

Faktoriál díky svému výpočtu hodně rychle nabývá na hodnotě, abychom nemuseli ručně a zdlouhavě provádět výpočet faktoriálu, dá se výsledek odhadnout pomocí stirlingova vzorce

[!info] Stirlingův vzorec $$\large n!\approx \sqrt{2 \cdot \pi \cdot n} \cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n $$

Čím vyšší faktoriál počítáme, tím menší je odchylka.

Výpočet faktoriálů pomocí logaritmů

\[\log(n!) \approx \frac{1}{2}\log(2\pi{n}) + n\cdot\log(n) - n\log(e) \]

Rozšíření na reálná čísla

Gamma funkce